CFD理论|大涡模拟

导读：介绍大涡模拟。

大涡模拟（Large eddy simulation，LES）是介于直接数值模拟（DNS）和Reynolds平均法之间的一种数值模拟方法。

基本思想

湍流包含一系列大大小小的涡团，涡尺度范围很大，我们希望计算网格的尺度可以小到足以分辨最小涡的运动给，但是目前所采用的最小尺度计算网格仍比最小涡大得多。

大尺度涡决定了系统中动量、质量、能量及其他物理量的输运，并且大尺度涡与所求解问题、几何和边界密切相关。小尺度涡几乎不受几何和边界的影响，它趋向于各向同性，且运动具有共性。目前只能放弃全尺度范围上涡的瞬时运动模拟，只将比网格尺度大的湍流运动通过瞬时N-S方程计算出来，小尺度涡对大尺度涡的影响则通过一定的模型在针对大尺度涡的瞬时N-S方程体现出来，这就是大涡模拟方法。

如何实现

实现大涡模型，有两个重要环节：

首先是建立数学滤波模型，从湍流瞬时运动方程中将尺度比滤波函数的尺度小的涡过滤掉，从而分解出描写大涡流的方程。

其次就是考虑被滤掉的小涡对大涡的影响，则通过大涡流场的运动方程中引入附加应力项来体现，被称为亚格子尺度应力。这个数学模型称为亚格子尺度模型（SubGrid-Scale model，SGS模型）。

数学模型

（1）大涡运动方程在LES方法中，通过滤波函数，每个变量都被分为两部分：

• 大尺度的平均分量 -这部分是滤波后的变量，是模拟中直接计算的部分；
  

• 不尺度变量-需要通过模型来表示。

这里的是滤波后的变量，它不是时间域上的平均，而是在空间域上的平均，

可以通过下式得到：

式中D为流动区域；x为空间坐标；为滤波函数，决定了所求解的涡的尺度。

通过滤波函数处理瞬时状态的N-S方程及连续方程：

上面两个式子就似乎LES方法中所使用的控制方程组，带有上划线的量为滤波后的场变量，  为亚格子尺度应力（subgrid-scale streese,SGS应力）：

该力体现了小尺度涡运动对所求运动方程的影响。

（2）亚格子尺度模型

SGS应力是为未知量，必须用相关物理量构造SGS应力的数学表达式，即亚格子尺度模型。

SGS应力的求解是LES模拟中的关键问题，最早的SGS模型是由Smagorinsky[1]提出，假定SGS应力具有下列形式：

假定SGS应力具有下列形式：

 为湍动粘度，具体求解这里不作展开。

[1] J. Smagprinsky, General circulation experiments with primitive equations, Monthly Weather Rev., 91(3):99-164. 1963.

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