湍流理论简介——未来可能推广和应用的数值仿真方法

湍流研究简介

提到湍流,不得不提的是雷诺的著名实验。雷诺通过图1的实验装置探索了从层流发展到过渡态,再发展到湍流的规律,并用惯性力和粘性力的比值即雷诺数对规律进行了总结,发现圆管从层流发展到的湍流的临界雷诺数大约在2300左右。

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1  雷诺实验

那么湍流的研究难点到底是什么呢?湍流的研究难点从实际上说是因为其无序性,从理论上讲是其本构方程N-S方程的不可解性(N-S方程被列为世界七大数学难题,求解该方程能够得到美国克雷数学研究所的奖金100万美元)。目前关于湍流的理论研究主要集中在湍流统计理论和数值模拟两个方面。

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2  达芬奇画中的湍流

湍流统计理论

首先来介绍下湍流统计理论。大部分湍流统计理论的研究前提是均匀各向同性湍流,这个概念是由G.I Taylor提出。均匀意味着各项统计性质与空间位置无关;各向同性意味着各项统计性质和方向无关。这样做的好处是大大简化了湍流研究的难度,另外虽然现实生活中没有完全的均匀各向同性湍流,但是部分流场如高空的自然风、风洞试验的核心区、圆管中轴线附近的流动等均可近似看作是各向同性湍流;而且各向同性湍流属于湍流的一种,各种理论如果想要得到证实,则必须先满足各向同性湍流的各种性质。也有人对此提出异议,如中国的院士周恒和国家计算流体力学中心的张涵信教授曾在一篇文章中提到,这种对湍流理想化的方法不利于认识事物的本质,阻碍了湍流理论的发展。下面对湍流统计理论的研究成果进行简要的介绍。

湍流统计理论的研究方法主要有关联函数法和湍谱分析方法,两种方法在数学上是等价的,但由于湍谱分析方法采用傅里叶变换的方法,将湍流转变成波的形式,在数学形式上比较简便,并且具有明确的物理意义,因此应用相对较多。根据人们对湍流能谱的研究,人们得出以下几点结论:

1.湍流的耗散速度可以表示为

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其中k为波数,可理解为包含涡结构的长度尺度的倒数,即高波数代表小涡,低波数代表大涡;E(k)为不同波数湍流的能量。从表达式中可以看出,湍流的耗散主要和高波数的涡也就是小尺度涡相关,虽然这部分涡的能量很小,但是承担了大部分的耗散,将湍动能转化为热能。

2.1937年卡门与豪霍斯根据各向同性湍流的假设,在N-S方程的基础上推导了卡门-豪霍斯方程,该方程为湍流统计理论的基本方程。虽然卡门-豪霍斯方程属于线性偏微分方程,但是仍然没有解决湍流方程的不封闭问题。

3.包含湍流大多数能量的涡尺度范围称为含能范围,可以用Ek,t)最大值所在波数Kc来标志含能涡的尺度;同理可用湍能耗散k2Ekt)的最大值所在的波数Kd来标志耗散涡的尺度。当雷诺数很大时,可认为耗散范围离含能范围很远,即Kd>>Kc,此时可认为在耗散区内由含能范围带来的能量和粘性耗散的能量平衡,称之为平衡范围。由此得到Kolmogorov第一相似性假设,平衡尺度内小尺度涡的在统计平均上唯一取决于参数εν

4.在雷诺数接着增大时,耗散范围越来越远离含能范围,此时平衡范围内可以找到波数为kKc<<k<<Kd,此部分区域粘性耗散与惯性力之比可以略去,此范围称为惯性子区,此即为Kolmogorov第二相似性假设。此范围内的湍动能可以写为

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这便是著名的Kolmogorov-5/32/3定律,并且此条定律在惯性子区内已经被实验验证。

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3  湍流能谱分布图

总的来说,关于使用统计理论的方法取得了很多令人瞩目的成就,但目前越来越陷入困境中,这还仅仅是满足各向同性湍流的假设下,而对于更为常见的各向异性湍流,其研究难度可想而知。而人们对于湍流研究应用于工程实际的呼声非常高,由此产生了各式各样的湍流的模式理论。

湍流模式理论

上文中已经提到湍流研究在理论上的难点是流体动力学方程的不封闭性,而所谓的模式理论是以雷诺平均应力方程与脉动方程为基础,依靠理论和经验相结合的方法,建立了一组描写湍流平均量的封闭方程组。虽然湍流模式理论的准确性和科学性收到各种质疑,但是模式理论在工程实践中发挥了不可磨灭的作用。

谈起湍流的模式理论就不得不提雷诺平均方程(Reynolds Averaged Navier Stokes,简称RANS)。英国物理学家雷诺认为不可压缩、黏性流体做湍流运动时,其瞬时的速度和压力仍旧满足N-S方程,并且我们可以人为的将这些量分解为时间的平均值和在时间平均值上的脉动量,ui(t)=Ui+ui(t),将其带入N-S方程求解之后得到,

从式子中我们可以看出,流场中速度的变化受到压力梯度、湍流力和粘性力的影响,可惜该方程由于雷诺应力无法求得仍旧无法封闭,于是人们针对雷诺应力项在结合相关实验的基础上开展了各种假设和猜想,得出了各种各样的模式理论。1872年的布辛涅斯克(Bossinesq)就提出采用涡粘性系数的方法来模拟雷诺应力;之后德国著名的流体力学家,哥廷根学派的代表人物普朗特(Prandtl)提出了混合长度模型,G I Taylor提出涡量转移模型,著名流体力学大师冯·卡门(Von Karmen)提出了相似性理论,这些理论由于没有引入高阶的统计量,被称为一方程或者零方程模型,它们都曾为各种流体力学工程做出过重大贡献,但因其准确性太差,大多数已经退出历史舞台。

从实际应用来看,目前湍流模式理论中应用最多的仍是两方程k-ε模型。其中中国的流体力学大师周培源先生首先建立了一般湍流雷诺应力所满足的动力学微分方程,1951年西德的Rotta发展了周培源先生的工作,提出了完整的雷诺应力模式,两人所做的工作被认为是以二阶湍流模式为主的现代湍流模式理论最早的奠基性工作。

所谓的两方程模型是指在质量守恒方程、N-S方程和能量守恒方程之外另加了两个方程,分别是k方程和ε方程,其中k代表湍动能,ε代表湍流耗散率,这两个方程均来自于量纲分析、直觉和类比,并没有多少科学推理,即使如此想要完整计算一个带有温度场的流场,计算机需要使用数值解法求解16个偏微分方程。后来科学家们放弃了给雷诺应力建立方程的企图,而是直接用推广的Bossinesq假设表示,得到了现在最常用的湍流模型k-ε模型。需要注意的是,由于模式理论的各种方程是在一定假设条件和实验数据配合的基础上得到的,因此对于不同的湍流数值模拟需要合适的湍流模型。对于k-ε模型来说,它的使用前提是充分发展的湍流,并且在大部分湍流的模拟中都取得了比较好的模拟效果,但是和实验数据对比之后发现k-ε模型对于以下几种湍流情况的模拟完全失败:

1)激波后的边界层内,在边界层分离点附近及分离区的流动;

2)流动沿流向有着明显变化,正应力梯度对流动起着明显作用的流动;

3)不对称槽流、弯曲混合点或壁面射流的情形;

4)非圆界面管道或者明渠流,由于湍流引起的二次流很重要,而各向同性的湍流模型对此完全没有办法模拟。

湍流高级数值模拟

湍流模式理论虽然在现实中应用广泛,但是存在两点致命的问题:

1模式理论的基础是雷诺平均方程,该方程虽然简化了求解,但是明显的缺点是抹杀了流动中所有的时间项,只能求得流动的平均量。     2各种模式理论都有自己单独的假设和使用条件,并没有一种模式理论适合于所有湍流。由此人们开始探索普适的湍流模拟方法,目前主要有两种方法:直接数值模拟(简称为DNS)和大涡模拟(简称为LES)。

所谓的直接数值模拟实质采用数值计算的方法直接求解N-S方程,这种方法的优点显而易见,它适用于所有的流动情况,并且计算的误差只是计算机数值计算的误差,而没有理论上的偏差(如果N-S方程完全正确的话);然而其致命的缺点是计算量太大,远超过目前功能最前的计算机的计算能力。目前主要用于简单流道的科学理论研究,在现实工程中的使用案例几乎没有。

而大涡模拟最早是由气象学家Smogorinsky1963年提出的,其基本思想是首先确定一种滤波方法,将流场内的漩涡分成大涡和小涡;对于流场影响较大的大涡采用直接数值模拟的方法,对于小涡对于大涡的影响是采用类似于雷诺应力的形式,称之为亚格子雷诺应力。常见的滤波方法有Box方法、富氏截断滤波器以及高斯滤波器等等,而对于亚格子雷诺应力模型、亚格子尺度又有多种处理方法,每种处理方法各种千秋。总的来说,大涡模拟这种方法保持了湍流数值模拟的准确性,同时计算量相对于直接数值模拟方法来讲要小很多,不过在工程应用方面由于计算量的原因应用还是比较少,在计算流体力学方面是研究的前沿和热点,总的来说是一种有前途、有实现可能的流体模拟方法。

总结

虽然目前对湍流的认识在理论上并不完善,但各种模式理论的精度已经被实验所证实,数值仿真方法已经广泛应用于航天、动力机械、海洋工程、化工设备、制冷、气象等各个领域,为这些领域新的实验和设计提供了扎实的基础和依据。另外新兴起的高级数值模拟方法-大涡模拟正在日益完善,随着计算机运行速度的提高,该种数值仿真方法有望在可见的未来得到推广和应用。

参考文献

[1] Etal P D. A voyage through turbulence[M]. Cambridge University Press, 2011..

[2] Wilcox D C. Turbulence modeling for CFD[M]. DCW Industries, 2006.

[3] Sagaut P. Large Eddy Simulation for Incompressible Flows[J]. Scientific Computation, 2010, 12(10):1745-1746.

能源化工

湍流理论简介——未来可能推广和应用的数值仿真方法的评论1条

  • 陆云
    0
    赞,放的不是图片,打字比较辛苦吧

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