OptiFDTD | 菲涅尔透镜

超构透镜是超构表面的直接应用，是光子学领域的一项重大进展。传统透镜依靠曲率聚焦光线，而超构透镜由亚波长单元阵列构成，在实现相同光学性能的同时，保持了纤薄轻便的特性。这些高折射率对比度的亚波长单元能对光源产生累积偏折效应。本案例采用传统菲涅耳透镜设计，以验证超透镜的有效性。

理论

超透镜的设计思路通常是：先确定实现目标透镜功能所需的相位调制，再将作用域划分为亚波长单元。随后通过设计，使每个单元提供正确的等效折射率或相位调制。

传统菲涅耳透镜如图1 所示，由高透过率区域（白色）和低透过率区域（黑色）的同心环带组成 [2]。环带通过以下公式确定：

其中U是单位阶跃函数，f是给定波长λ的期望焦距。

图1 波长λ=0.6 μm，焦距f=8 μm的菲涅耳波带片。

超透镜的设计的实现方式为：在介质（硅）平板的目标高透过率区域引入亚波长空气孔阵列。这一设计可降低该区域的等效折射率，提升透射效率。

设计

本演示将探究三种仿真设计方案：介质平板、厚菲涅耳透镜、菲涅耳超构透镜。自由空间和厚菲涅耳透镜示例将为超构透镜设计提供参考和背景依据。

所有仿真将保持相同的通用晶圆、光源和离散化参数，具体如下文所述。每种透镜示例的详细信息将在对应章节中说明。

通用仿真参数

表1：晶圆规格和边界条件

晶圆特性	数值
x 轴长度	10μm
y 轴长度	10μm
z 轴长度	12μm
边界条件	各向异性完全匹配层（APML）

输入平面采用矩形分布作为光源。

表2：仿真中使用的光源参数

光源特性	数值
位置	0.25μm
波长	0.85μm
半宽度	0.5μm
传播方向	ẑ
时域波形	连续波（CW）

为确保三种仿真结果的一致性，所有设计的离散化网格均基于约束条件最严格的仿真（超透镜）确定。

表3：网格离散化参数（未指定的参数均设为自动）

网格特性	数值
Δx 和 Δy	0.01μm
Δz	非均匀分布，最大Δz 为 0.07μm，最小 Δz 为 0.02μm。最小网格覆盖范围为 z=0.5μm 至 z=2.05μm。

介质平板

第一种设计为介质（硅）平板。该示例将展示无场聚焦的情况，并作为两种透镜设计的参考基准。该平板也是后续两种设计的基础，后两种设计均通过在平板上蚀刻制成。

表4：介质平板设置

设计特性	数值
平板材料	硅（折射率n=3.48）
平板厚度	1.55μm
平板起始位置	0.5μm
观测点位置	11μm
YZ 观测区域位置（x,y,z）	(0, 6, 0)μm
YZ 观测区域尺寸（z，y ）	(12, 10)μm

厚菲涅尔透镜

第一种透镜示例为厚菲涅耳透镜，其厚度与介质平板一致（1.05μm）。每个环的起始半径通过公式解析计算得出，如表 5 所示。利用这些半径制作一系列尺寸逐渐减小的光纤波导，材料在硅和空气之间交替分配，中心区域为空气。光纤波导通过 OptiFDTD 中的 VBScripting 脚本制作。

图2 OptiFDTD中的菲涅尔透镜设计

表5：菲涅耳透镜同心光纤的半径。注意，光纤半径越小，在项目浏览器中的层级越高，以确保该光纤的折射率优先级高于之前的光纤。

环	外半径（μm）
1	7.602631
2	7.141428
3	6.648308
4	6.115554
5	5.531727
6	4.878240
7	4.123106
8	3.193744
9	1.843909

等效折射率菲涅耳透镜

超透镜通过在仿真域上构建正方形晶格实现。利用公式判断每个晶格节点所在区域为高透过率区还是低透过率区：若为高透过率区，则制作空气孔（采用空气材质的光纤波导）；若为低透过率区，则不制作空气孔。

图3 OptiFDTD中的超透镜设计

晶格和空气孔单元的特性如下表所示：

表6：空气孔的通用特性

设计特性	数值
材料	空气
柱体半径	0.2μm
晶格类型	正方形晶格，晶格间距0.25μm

结果

作为基准的介质平板，未表现出任何场聚焦现象，且平板内出现了预期的法布里- 珀罗共振。

图4 介质平板在YZ平面的 Ey 场 

采用菲涅耳透镜设计后，光线实现了场聚焦（如图5 所示）。沿 z 轴切片（如图 6 所示）显示，焦点峰值位于 8.2319μm 处。

图5 菲涅尔透镜在YZ平面的 Ey 场

图6 菲涅尔透镜在YZ平面的 Ey 场沿Z轴切片

将透镜设计改为超透镜后，得到了相似的结果。其焦点峰值位于8.0475μm 处，但光斑尺寸更大。两种设计结果的差异源于超构透镜中高透过率区的折射率对比度不同且透射率较低。

图7 超透镜在YZ平面的 Ey 场

图8 超透镜在YZ平面的 Ey 场沿Z轴切片