【JY】振型参与质量：为什么总要凑够 90%？

振型取几阶才够，不能凭感觉凑数。参与系数与有效参与质量把每一阶“带得动多少质量”算成可核对的数；三层算例中第一阶占 88.3%，前两阶累积 98.4%——90% 是截断的下限，不是目标本身。

软件算完振型，工程师常被追问一句：取了几阶，够不够？

回答不能停在“取了 30 阶，应该够了”。阶数本身不是判据，每一阶到底带得动多少质量才是。振型参与质量（有效参与质量）就是把这件事量化的数：它按振型形状与质量分布加权，给出每一阶在指定地震输入方向上能被“激发”的等效质量；把各阶累加到总质量的 90% 以上，才说明被截断丢掉的那部分质量已经小到规范与工程经验可接受的程度。

与上一篇的关系只留一句：振型组合解决各阶峰值怎么合，参与质量解决取几阶才够——前者管合成，后者管截断。

本文按定义—推导—算例走：先把参与系数 Γ 与有效参与质量 M* 的符号钉死，再推为什么全部振型的 M* 之和恰好等于总质量，最后用一个可手算复核的三层剪切模型算到底：第一阶占多少、累积到第几阶过 90%。

一、问题与目标

要回答的问题

给定一个多自由度体系、一个地震输入方向（本文只讨论单方向平动输入），计算中只保留前 m 阶振型时，被丢掉的高阶振型还“藏着”多少质量？换成可执行的判据就是：

累积有效参与质量达到总质量的哪一比例时，才可以停？

我国规范给出的常用门槛是 90%。需要先把出处说准：GB 50011—2010《建筑抗震设计规范》（2024 年版）第 5.2.2 条正文只要求振型个数视周期与高宽比适当增加；“振型参与质量达到总质量 90%”的表述在其条文说明中，作为振型个数取值的一般方法提出。它因此是工程截断的下限判据，而不是说达到 90% 后剩余 10% 在任何响应量上都不重要——这一点第五节再展开。

本文解决到哪一步

本文只做三件事：给出 Γ 与 M* 的定义并统一符号；证明（在平动输入下）全部振型 M* 之和等于总质量；用三层模型把累积过程算出可复核的数字。扭转耦联、竖向地震、质量源取法等只在边界节列清，不在此展开推导。

二、方法/定义：参与系数与有效参与质量

符号约定

设体系有 n 个平动自由度，质量矩阵为 M（本文算例取对角阵），第 j 阶振型向量为 φ_j，地面平动影响向量为 r（输入方向上有平动自由度取 1，其余取 0）。振型归一化方式必须交代：本文算例把每阶振型的最大绝对分量归一为 1，且令顶层分量为正。Γ 与 M* 的最终数值不依赖归一化方式，但中间的 Γ 会随之改变，复核时先对齐这一条。

任意位移向量可按振型展开：

式中 q_j 为第 j 阶振型坐标。展开本身只是换基底；地震输入能不能激发第 j 阶，要看该振型与质量分布、输入方向的耦合程度。

振型参与系数 Γ_j

第 j 阶振型参与系数定义为：

分子 φ_j^T M r 度量该振型形状与“全部质点同向平动”这一输入模式的加权相关性；分母 φ_j^T M φ_j 是该振型的广义质量。Γ_j 本身带振型归一化的印记，不能跨模型直接比大小；能跨模型比的是下一步的 M*。

有效参与质量 M*_j

第 j 阶有效参与质量（振型参与质量）定义为：

M*_j 有质量量纲（本文算例以 t 计），且与振型归一化无关：把 φ_j 放大任意倍，分子分母同步变化，M*_j 不变。它表示在指定输入方向上，第 j 阶振型等效带动的质量。把前 m 阶累加并除以总质量，得到累积参与比：

工程上说的“凑够 90%”，就是要求 η_m 不低于 90%。注意 η 按方向分别统计：X 向达标，不自动等于 Y 向或扭转方向达标。

三、推导：为什么各阶 M* 之和等于总质量

结论先行：在平动输入、振型完备（取全部 n 阶）的条件下，

推导只需三步。第一步，由振型的质量正交性，不同振型的广义质量互不耦合，M 在振型基底下可对角化。第二步，把影响向量 r 也按振型展开，展开系数恰好与 Γ_j 成比例。第三步，对展开式左乘 r^T M 并逐项整理，每一项正是 M*_j，求和后右端收成 r^T M r；当 r 为平动影响向量且 M 对角时，它就等于各层质量之和，即总质量。

这一恒等式是 90% 判据的根基：分母不是估计出来的，总质量是闭合的；累积比 η_m 因此是一个有确切满值的截断误差度量，而不是经验百分比。复核算例时也可反过来用它验算：全部振型的 M* 加不回总质量，先查振型、质量矩阵或归一化，而不是先怀疑判据。

还要钉住一个常见误读：M*_j 大，只说明该阶在该输入方向上被激发的质量多，不直接等于该阶对层剪力、层间位移或构件内力的贡献就大。响应贡献还要乘反应谱值等因素；参与质量管的是“质量有没有被漏掉”，不是完整的响应排序。

四、算例：三层剪切模型

模型参数（可复算）

取三层剪切模型，层序自下而上。各层质量依次为 m = [120, 100, 80] t（自下而上递减），各层层间刚度依次为 k = [36000, 30000, 24000] kN/m。质量矩阵取对角阵，刚度矩阵按剪切模型组装（底端固定、顶端自由）。这组参数下质量与刚度同向递减，振型形态典型、又不至于第一阶就越过 90%，正好把“必须再往上取一阶”的过程露出来。

计算用 Python（numpy）特征值求解：先解 (K − ω²M)φ = 0 得周期与振型，再按公式 2、3 逐阶算 Γ_j 与 M*_j。脚本 solve.py、原始输出 numbers.json／numbers.csv 与本文同目录存档，文中数字与脚本输出逐项一致（保留三位至四位有效数字）。

结果

图1　三层剪切模型三阶振型（教学算例）：振型最大分量归一为 1，层序自下而上；周期见图例。

图 1 给出三阶振型形状：第一阶三层同向、向上递增，是整体侧移型；第二阶底层与上部反向，出现一个节点；第三阶交替反向，节点更多。高阶振型越“曲折”，与均匀平动输入的相关性越弱，这正是其 M* 逐阶变小的直观原因。

图2　各阶有效参与质量占比（柱）与累积占比（折线，教学算例，总质量 300 t）；红色虚线为 90% 参考线。

图 2 把占比与累积画在同一张图上：第一阶柱高 88.3%，尚未触到 90% 参考线；加上第二阶的 10.0%，累积跳到 98.4%，越过参考线；第三阶只补 1.6%，累积回到 100.0%。

读数与校验

三点可直接复核：

- 第一阶占大头但没过线。第一阶 M* 为 265.0 t，占总质量 300 t 的 88.3%——很接近、但仍差 1.7 个百分点。若在这个三层模型里只取一阶就停，η = 88.3% < 90%，按常用判据不合格。

- 累积到第二阶过 90%。前两阶累积 98.4%，截断判据满足；剩余第三阶的 1.6% 是“已知的漏项”，量级清楚。

- 总质量闭合。三阶 M* 之和 265.0 + 30.1 + 4.9 = 300.0 t，与总质量 Σm_i = 300 t 一致，公式 5 在算例上闭合。Γ_2 为负只表示该阶振型与输入方向的约定符号相反，M* 取平方后为正，占比不受影响。

真实高层当然不会只有三阶；但截断逻辑完全相同：逐阶累加 η，越过 90% 后再结合响应量判断是否还要继续，而不是先定一个阶数再自我安慰。

五、适用边界与常见误用

以下每条都可核验，不凭感觉：

- 90% 是下限，不是目标本身。条文说明给出的是振型个数取值的一般方法（见第一节出处）；达到 90% 只说明被漏掉的质量比例受控。局部响应（如设备层、突出构件）对高阶振型敏感时，η 过线仍可能不够，应结合具体响应量增取振型。

- 扭转与竖向另看。本文恒等式与算例只针对单方向平动输入。扭转耦联分析中要按方向分别看参与质量（含扭转分量），竖向地震作用另有其参与质量统计，不能拿 X 向的 98.4% 去覆盖另外两个方向。

- 局部振动会“吃”阶数。楼板面内柔性、局部突出构件或非结构构件的局部振型会排在前列，其 M* 很小却占掉阶数名额；只数阶数会误判，必须看累积 η 曲线本身。

- 质量源定义直接改分母。恒重、活荷载组合等质量源取法不同，总质量与各阶 M* 都会变；对比两次计算的 η 前，先确认质量源同口径，否则百分比不可比。

- 不能只看一个方向。双向地震作用下 X、Y 向分别统计 η；某一方向达标，另一方向可能因质量或刚度偏心而明显偏低。

- Γ 不能跨模型比，M* 占比才行。Γ 随振型归一化改变（本文取最大分量为 1）；软件间对数时，比 M* 或其占比，不直接比 Γ 的绝对值。

- 参与质量不是响应贡献的完整排序。如第三节所述，M* 不含反应谱纵坐标；周期落在谱值低段的高阶振型，响应贡献可能远低于其质量占比的直观印象，反之亦然。

写在最后

把“取几阶”从经验口令改成可核对的累积账，只需要三步：按定义算每阶 M*；逐阶累加得 η_m；越过 90% 后再用响应量复核是否收工。三层算例把账算明了：第一阶 88.3% 尚未过线，前两阶 98.4% 才达标，全部振型加回 300 t 总质量，分毫不差。

参与质量的价值不在 90% 这个数字本身，而在于它让截断误差变得可见、可复核。下次再被问“阶数够不够”，先把累积曲线调出来，再回答。

参考文献

[1] 中华人民共和国住房和城乡建设部. GB 50011—2010 建筑抗震设计规范（2024 年版）[S]. 北京: 中国建筑工业出版社, 2024.

[2] CHOPRA A K. Dynamics of structures: theory and applications to earthquake engineering[M]. 5th ed. Hoboken: Pearson, 2017.

[3] 胡聿贤. 地震工程学[M]. 2版. 北京: 地震出版社, 2006.

[4] CLOUGH R W, PENZIEN J. Dynamics of structures[M]. 3rd ed. Berkeley: Computers & Structures, 2003.

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