离散单元法——非连续介质模拟的有效手段

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1. 离散单元法诞生的背景

岩土,经受长期的地质构造作用,在一定的地质环境中形成一定的结构,显现出宽广和多变的材料响应范围。与一般的工程材料相比,它显现出结构上的不连续性、不均匀性和各向异性,且在物理力学性质上存在非线性。岩土材料的这些特性促使了许多数值模拟方法的发展以研究它的力学行为,如有限差分法、有限单元法和离散单元法。能够模拟连续和非连续材料各力学行为的数值模拟工具已成为了研究者们追求的目标。


在岩土工程的早期研究阶段,太沙基、比奥等先贤们让碎散的土拥有了和其他连续介质一样的“方程”,使得连续介质的理论也能够为其所用。随着计算机技术的发展以及科学研究的深入,基于连续介质理论的计算方法难以满足研究者们对于计算精度的要求。受到分子动力学原理的启发,在20世纪70年代,Cundall P. A. 教授[1]首次提出了一种颗粒离散体材料的分析方法,即离散单元法(Discrete Element Method),并将其应用于岩石块体力学问题的分析。为了研究颗粒尺度上颗粒集合体的力学特性,1979年Cundall和Strack[2]又提出了适用于土力学的离散单元法。与常规有限单元法不同的是,离散单元法允许单元间的相对运动,不一定满足位移连续和变形协调条件,计算速度快且所需的存储空间较小,特别适用于岩土体材料的大变形/位移的分析。在随后的几十年中,离散单元法的应用领域不断拓宽,逐渐被应用于散状物料、粉体工程等领域。


2. 离散单元法的基本原理

世界上所有的物体都是由原子组成的,原子之间相互作用,进而构成分子、实体,并在外界作用下发生运动。理论上,如果知道了每一个原子的运动状态,那么由这些原子所构成的实体的运动状态便是确定的。离散单元法的原理与之类似,其最核心的思想便是通过大量的颗粒单元来模拟实际的研究对象,通过求解每一个颗粒的运动状态来反映实体结构或者微观结构的力学行为


离散单元法的一般求解过程为:


将求解空间离散为离散元单元阵,并根据实际问题采用连接元件(即接触模型)将相邻单元连接起来;单元间相对位移是基本变量,由力与相对位移的关系可得到单元间法向和切向的作用力;对单元在各个方向上与其它单元间的作用力以及其它物理场对单元作用所引起的外力求合力和合力矩,根据牛顿运动第二定律求得单元的加速度;对其进行时间积分,得到单元的速度和位移。从而得到所有单元在任意时刻的速度加速度角速度线位移转角等物理量。


在离散单元法中,接触模型用来计算接触力,进而计算颗粒的运动信息,是离散元法的理论核心。Cundall等最先提出的是简单的弹簧-阻尼器接触模型,如图1 (a) 和 (b) 所示。图中,knks分别为法向和切向刚度,dnds分别为法向和切向阻尼。

图1 接触模型


上述接触模型未考虑接触上的颗粒滚动效应,颗粒容易发生转动,导致数值模拟结果与实际情况有较大出入。Iwashita和Oda[3,4]引入接触力矩,提出了抗滚动接触模型,见图1 (c)。图中,krdr分别为滚转刚度和滚转阻尼。


3. 离散单元法的应用领域

随着离散单元法理论的完善,该方法逐渐被人们所熟悉并应用于各个科学领域。以下是一些运用离散元方法求解科学问题的成功案例:


隧道渗漏


地质滑坡(http://matdem.com/content/?721.html)


地震波传播(http://matdem.com/content/?698.html)


单轴压缩


4. 离散单元法的局限性

虽然离散单元法能够有效模拟岩土体的非连续性、不均匀性以及大变形破坏,在地质、岩土工程和能源开采等领域有非常广泛的应用价值,但是我们也要意识到,离散元法在应用于实际工程问题时也面临着许多困难:


(1)离散元的计算量巨大。以常用的离散元软件PFC为例,其模拟的对象通常是细微观的物质,所以它所建立的模型尺寸非常有限,而且在数值模拟的时候通常需要迭代计算至少一百万次,迭代计算量非常大。


(2)定量建模困难。离散元模拟过程当中,通常都是赋予颗粒接触参数和接触模型来进行计算,使得其表现出的宏观力学性质和实际材料的宏观力学性质相匹配,而这种堆积模型的宏观力学性质和单元力学参数间的关系是不明确的,需要进行大量的调试实现两者的匹配。


(3)多场耦合理论尚未完善。现代工程中常常面临多场和多相耦合的问题,如流固耦合、热固耦合,而这些问题在离散单元法中实现的理论还不够完善,一定程度上限制了离散单元法应用的范围。


当然,针对上述问题,广大科研工作者们也在离散单元方法的基础上,开发出了一系列高效的数值计算软件,如采用GPU进行并行计算求解的MatDEM大大提高了离散元问题的计算效率;又如开源的离散元程序LIGGGHTS,能够引入OpenFoam来实现流固耦合问题的精确求解。


5. 结语

总体来说,作为一种非连续介质的数值计算方法,离散单元法从被创立至今一直承载着国内外科研工作者们的关注和重视,并在原有基础上不断完善和发展。随着计算机技术的发展,基于离散单元法的数值模拟研究正不断地向精细化、规模化和多尺度的方向发展,并将逐渐成为各工程领域不可缺少的数值计算方法之一。


参考文献:

[1] Cundall P A. A computer model for simulating progressive, large-scale movements in blocky rock systems[C]. In: Proceedings of the International Symposium on Rock Mechanics. Nancy, France: [s.n.], 1971: 129–136.

[2] Cundall P A, Strack O D L. A discrete element model for granular assemblies[J]. Géotechnique, 1979, 29(1): 47–65.

[3] Iwashita K, Oda M. Rolling resistance at contacts in simulation of shear band development by DEM[J]. Journal of engineering mechanics, 1998, 124(3): 285-292.

[4] Iwashita K, Oda M. Micro-deformation mechanism of shear banding process based on modified distinct element[J]. Powder Technol, 2000, 109(1-3):192–205.



作者简介:

skyhunter(笔名),同济大学硕士在读。

专注于岩土材料的数值模拟研究。

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