近场动力学入门程序——杆和板,两种求解器(显示求解和隐式求解),帮助快速入门

一、PD简介

       近场动力学(PD)是2000年Silling博士提出的一种非局部力学理论模型。该理论模型区别于连续介质力学模型,假设物质点之间非连续并以长程力相互作用。Silling博士先后提出键型本构模型、常规态型本构模型及非常规态型本构模型等。之后又有研究者相继提出适用于塑性、粘弹性以及粘塑性情况的PD本构模型。

二、数值算法简介

       PD理论很难求得解析解,所以求解PD基本都是用数值算法。目前求解PD的数值算法可以分为两类,即显示算法和隐式算法。此外,结合离散方式的不同,求解PD的数值算法可以进行如下的划分。

(1)无网格方法或离散粒子法

       该种方法是Silling博士于2005年发表的一篇文章中提出的方法。该种方法将连续的物体离散为许多规则的有体积的质量块,每一个质量块都将质量集中到小块体积的几何中心处,那么待求解的结构就被离散为粒子系统,近场域的积分项自然而然地离散为求和的形式。当完成离散后,就可选择是用显示方法进行求解还是隐式方法进行求解。

       显示方法采用中心差分格式,后于2010年Madenci教授发表了一篇文章将自适应动力松弛法正式推广。

       隐式方法的核心思想是牛顿迭代法,该方法最核心的地方在于如何求解切线刚度矩阵。总的来说刚度矩阵的获得有解析法和计算法两种。解析法可以参考Silling博士2010年发表的论文,里面提出了模量态的概念,但由于解析法普适性没有计算法好,所以大多数支持无网格隐式求解的开源软件都采用计算法。计算法的思想是给一个非常小的扰动位移,然后用中心差分或向前差分或向后差分代替求导数,从而得到切线刚度矩阵。

       支持离散粒子法的开源软件有Peridgm、LAMMPS等,非开源的有Silling本人开发的EMU。

(2)有限单元法

       有限单元这个词可以形容一种理论模型,但其本身也是一种求解偏微分方程的数值方法。PD理论的平衡方程不是偏微分方程而是积分方程,所以在PD理论最开始时几乎没人用这种数值方法求解。之后陆续有人使用,后逐步有研究者研究针对态型本构的有限元离散过程,这使得该类方法被使用的场景越来越多。以键基本构为例,有限元离散过程将“键”看作杆单元或梁单元,这样刚度矩阵的组装就非常方便。随着,2011年MaxGunzburger教授将不连续伽辽金元应用于PD模型求解不连续问题,即为使用有限单元执行PD模拟断裂指明了道路。

       基于不连续伽辽金元的有限元商用软件有LS-DYNA。

三、本程序包简介

       该文件又分为两个文件夹,包括两个静力学问题的算例。一个是一维杆件受拉问题,一个是二维金属矩形板受拉问题,每个文件夹都有word文件进行了更为详细的说明。两个算例都是采用matlab编写,可直接运行。

       两个算例均使用微弹性键型本构模型采用离散粒子法,且分别编写了显式求解器和隐式求解器。

       所有的程序都经过作者用心的编写特别是隐式求解器,可以说对初学者来说干货满满,对有基础的研究者也有借鉴之处。

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