CFD理论|基本方程（2）

导读：基本方程的第二部分，介绍流体的连续性方程及动量方程。

连续方程

任何的流动问题都需要满足质量守恒定律（单位时间内流体微元体中质量的增加，等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量）。连续方程就是质量守恒定律对运动流体的数学表达。 在流体流动空间中，取既有固定边界的系统为控制体，其体积V，面积S都不随时间变化。

由于系统所包含的质量在任何时刻都是不变,因此：

根据雷诺输运定理：

方程中第二项为面积分，可以利用高斯公式将其转换为体积分，于是可以得到：

由于控制体的体积V是任取，方程可以改写为微分形式：

这就是连续方程，在直角坐标系下，方程可以改写为：

雷诺第二输运方程：

结合连续方程及雷诺输运方程可以得到雷诺第二输运方程：

这里不作具体推导。

应力张量

作用在流体的作用力有质量力和表面力。

这里讨论的应力张量的是表面力的表达形式，作用在单位面积上的表面力(静压力)永远沿着作用面的内部法线方向，并且其大小与作用所处方位无关，也就是说流体中一点的静压力沿各个方向相等。

右上图所示，如果作用面垂直于某坐标轴，则应力可以分解成三个分量，其中一个垂直于作用面-称为法向应力；另外两个与作用面相切-称为切向应力（切应力），分别平行于另外两个坐标轴-即切应力在坐标轴的分量。第一个下标表示于应力作用面的坐标轴，第二个下标表示在哪一个坐标轴的分量。

作用在空间点以n为法线方向的微元面dA上的应力 ,可以由过该点作用在三个垂直于坐标轴的平面应力的九个分量确定。可以构成一个二阶对称张量:

动量方程

（1）微元体受力

动量方程是动量守恒原理在流体运动中的表达方式，其中运动的流体微团的动量表达式为：

动量守恒的原理是要求流体系统的动量变化率等于该系统上的全部作用力之和，也就是牛顿第二定律,，即：

（2）动量方程

动量方程方程的表达式为：

此为拉格朗日积分形式的动量方程，右侧第一项为体积力，第二项为表面力。可以进一步改写为欧拉形式的动量方程：

同样根据高斯公式将面积分改为体积分，并且在欧拉方法中V是任取的控制体体积，因此可以得到微分形式的欧拉型动量方程：

将方程左侧的随体导数展开：

结合连续方程整理可以得到：

其中 称为动量通量的张量，为对称张量，所以方程又可以写为：

由于技术邻对公式的排版比较有难度，想看比较友好的排版，文末有排版较好的文章截图，并且文章同时也同步更新在微信公众号及知乎号上。

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