CFD理论|Reynolds平均法(RANS)-<1>

导读：介绍Reynolds应力项的涡粘模型。涡粘模型包括：零方程模型；一方程模型；两方程模型。

零方程模型

零方程模型指的是不用微分方程，而是用代数关系式。模型采用平均运动场的局部速度梯度来表示局部雷诺应力，把涡粘度与时均值联系起来。因此又叫平均速度场模型。

零方程模型方案有很多种，最著名的是Prandtl提出的混合长度模型，

该模型假定湍动粘度正比于时均速度的梯度和混合长度的乘积：

湍流切应力则表示为:

其中，混合长度 由经验公式或试验确定。混合长度理论直观简单，可以成功预测射流、边界层、管流的湍流运动，许多实际问题中的不是常数，所以在实际工程中很少使用。

一方程模型

零方程模型中，湍动粘度和混合长度 把Reynolds应力和平均速度梯度相联系，忽略了对流和扩散的影响。为了弥补混合长度假定的局限性，在湍流的时均连续方程和Reynolds方程的基础上,建立湍动能k的输运方程，把表示为k的方程，使方程组封闭：

从左至右，方程中各项分别为瞬态项、对流项、扩散项、产生项、耗散项。可以证明，忽略对流扩散时，一方程模型可以化为混合长度理论。复杂问题用一方程仍很困难，所以只是过渡性理论。

两方程模型

一方程模型考虑了湍动能对流项及扩散项对湍流输运过程的影响，采用 来表示湍动粘度。但在一方程模型中特征长度仍需要当地流动状态的函数（一般是代数式），没有考虑对流及扩散对l的影响，因此对于复杂流动求解存在困难。

在一方程模型的基础上，再增加一个以为因变量的控制方程，或用  ( 涡频率= ),  (脉动涡量)，(耗散率)的控制方程来使方程封闭。目前工程上最常用的是  双方程湍流模型。

对不可压缩流体的N-S两边求偏导数  ，两边乘上因子  ，并假设湍流耗散各向同性，则可以得到湍动能耗散率方程:

从左往右，第一项时间项，第二项对流项，第三项湍流扩散项，第四项分子扩散项，第五项产生项，第六项耗散项。其中还需要对其中一些项进行处理，采用布辛尼斯克假设思想，令：

则耗散项为:

产生项：

式中，  是脉动动能耗散率扩散的Prandtl常数，  为实验常数。的微分方程可表示为：

  模型可以成功预测无浮力的平面射流、平壁边界层、管流、无旋或弱旋等流动。但对强旋流动、浮力流、低Re流动等预测存在较大误差，需要修正，这里不作展开。

重整化群模型（RNG）

前面模型的构造方法均是定性描述湍流特性，把脉动的效果看出一种附加的粘性作用，其比例系数通过实验确定，这是以物理概念和实验观测为基础。但是从基本湍流理论出发，通过数学推导，也可以得到类似结论，这就是RNG 模型。其基本思想是在频率空间研究流体运动，并假设惯性区的湍流各向同性，将N-S方程改写为波矢量方程形式，则大涡成为低频振动，小涡是高频小波长震荡。

• 与两方程模型不同，这里的不是湍流耗散速度，而是一个假想的高频声源特征值；
  

• RNG模型是通过严格的统计学理论推导，模型中的常数大都是通过理论分析得到，因此有更好的普适性。

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