量纲分析在处理工程问题中的妙用

Xachary

2021年2月9日 23:38

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略读本文大约需要5min，精读约需10min

写在开头：

量纲分析在物理学、流体力学、化学、光学中都有应用的影子，为了解决问题，很多无量纲量被引入，比如说著名的雷诺数Re，马赫数Ma，折射率n，泊松比v以及圆周率π等等，显然，这些无量纲量的存在大大方便了对实际问题的求解。在很多工程问题中，尤其对于一个有诸多影响因素的问题，想探究多个影响因素（自变量）对某一量（因变量）的影响如何，就可以首先利用量纲分析这一有利工具初步得到所有影响因素的大概表达式，进而得到哪些因素为主要因素，哪些为次要因素，使得一个复杂的问题变得条理化、清晰化，之后再开展相应的试验、数值模拟等，便能够研究单一因素的具体影响规律。

量纲基本概念：

量纲不同于单位，量纲用来表示不同物理量的基本属性，如长度、时间、质量等就有不同的属性，因此也具有不同的量纲，而同一个量纲可以由不同的单位，比如长度有m、cm、mm等。一个物理量X在选定了度量单位U以后就得到它的量值x，即有：

量值x的大小随选用单位的大小而定。

量纲分为 有量纲量 （如长度时间）和 无量纲量 （如角度，两个长度之比等），并且把物理量分为 基本量 和 导出量 两类，基本量是指具有独立量纲的那些物理量，而导出量则指其量纲可以由基本量纲组合而成的物理量。

力学问题中任何一个物理量X的量纲都可以表示成 长度、质量和时间 这三个基本量的量纲的幂次表达式，即：

其中，[X]表示X的量纲，L，M，T分别表示长度、质量和时间的量纲，α，β 和γ为实数，如果物理量在从某一个单位系U转换到另一单位系U'时，其量值应从x变为x'，即：

小结一下量纲就是物理量的种类属性。

白金汉 定理：

π定理是量纲分析的理论核心，最早由在1914年提出，1922年将其称为定理，称为定理是由于这个符号是由在定理的证明中用来表示无量纲量的缘故。

将一个问题中的因变量和自变量都统一视为变量，设其总数为，记为，则物理规律可写为隐函数的关系：

在个变量中，选出个基本量，不妨设为，后面的个变量则是导出量，将这个基本量取做单位，上面的函数关系可化为：

其中，分别对应的量值，在函数f的变量表中，最前面有个1，它们都是不变化的常数，只有后面个才是对起作用的无量纲变量，因此函数关系可写为：

将定理概括为：一个问题中若有个变量（包括个自变量和1个因变量，），而基本量的数目是，那么一定形成个无量纲变量（包括个无量纲自变量和1个无量纲因变量），它们之间形成确定的函数关系。

下面将通过三个具体的例子介绍如何在简单的问题中应用 定理。

单摆周期：

在单摆中，显然，我们知道影响单摆周期的因素有单摆质量，重力加速度，摆长，设单摆周期为，系统总能量为，取独立的，，作为基本量，由定理，

利用基本量将和无量纲化，得到两个无量纲数为和，即：

写成显函数的形式，即：

在小幅度摆动情况下可以将φ泰勒展开忽略高阶小量，将周期写为：

其中A为常数，可由实验测得。其实我们知道A就是单摆周期公式中的2π。

流体：

密度为、运动粘度为的粘性流体，以速度V流经长为、直径为的直管道。试用量纲分析的方法确定两端压强差与流动参数的关系式。

1、写出相关物理量的函数式如下：

式中为管壁的粗糙度。

2、选出基本量——物理量的数目有7个，选出3个基本量

①几何量，代表长度量纲L，选择管径d，dim = ;

②运动量，代表时间量纲T，选择速度V，dim = ;

③动力量，代表质量量纲M，选择密度，dim 。

这三个基本量任意组合后的量纲为

3、将方程中其余的量进行无量纲化例如：的量纲为，与式dim

相比较，对应项的指数相等，若使无量纲，应有

解得得到无量纲组合

依次对其他的变量进行无量纲化处理，得到下面的函数关系式：

上式为隐函数，可以写成

即：

实验证明，损失与管长成正比，而与管径成反比，则有

上式即为著名的 达西公式。

穿甲：

杆式CJ弹是反坦克的主要弹种，图2是杆式CJ弹冲击坦克前装甲的初始和中间状态示意图，当弹头冲击到装甲板的瞬间，由于突然减速，在冲击点附近形成高压，并产生冲击波在装甲板和弹体的材料内扩展开来，同时，在冲击点附近开始形成弹坑。冲击波波阵面遇到弹和靶的自由面的部分时，即被卸载并向材料内部反射稀疏波，稀疏波追赶上冲击波使之衰减。