CFD理论|离散方程的误差及稳定性

BB学长

2021年3月2日 10:59

浏览：1919 收藏：1

《数值计算部分》

导读：介绍离散方程的误差及初值问题稳定性。

离散方程的误差

在前面介绍的几种控制方程的离散中，无论是哪一种方法都是对控制方程的近似处理，因此会引入误差。从数学的角度而言，这些误差包括-离散方程的截断误差、离散方程解的离散误差及舍入误差。

1.精确解

离散方程的精确解指的是在求解过程中不引入任何误差的解，这里我们把离散方程的精确解记为 $\phi_{i}^{n}$ .

2.离散方程的截断误差

离散方程的截断误差(截差)是指其差分算子与相应的微分算子间的差，记为TE。

我们用数学语言去表达截断误差。

用符号

L(\phi)_{i,n}

表示对函数

\phi

在点

(i,n)

作某些微分运算的算子。例如对一维非稳态对流-扩散问题：

L(\phi)_{i, n}=\left(\rho \frac{\partial \phi}{\partial t}+\rho u \frac{\partial \phi}{\partial x}-\Gamma \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}-S\right)

用符号

L_{\Delta x, \Delta t}\left(\phi_{i}^{n}\right)

表示对

\phi_{i}^{n}

作某些差分运算的算子，例如：

\begin{aligned} L_{\Delta x, \Delta t}\left(\phi_{i}^{n}\right) &=\rho \frac{\phi_{i}^{n+1}-\phi_{i}^{n}}{\Delta t}+\rho u \frac{\phi_{i+1}^{n}-\phi_{i-1}^{n}}{2 \Delta x} \\ &-\Gamma \frac{\phi_{i+1}^{n}-2 \phi_{i}^{n}+\phi_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}-S_{i}^{n} \end{aligned}

因此阶段误差TE 就可以表示为：

T E=L_{\Delta x, \Delta t}\left(\phi_{i}^{n}\right)-L(\phi)_{i, n}

差分方程的精确解作Taylor展开来导出：

\begin{array}{l} \left\{\rho \frac{\phi_{i}^{n+1}-\phi_{i}^{n}}{\Delta t}+\rho u \frac{\phi_{i+1}^{n}-\phi_{i-1}^{n}}{2 \Delta x}-\Gamma \frac{\phi_{i+1}^{n}-2 \phi_{i}^{n}+\phi_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}-S_{i}^{n}\right\} \\ -\left\{\left.\rho \frac{\partial \phi}{\partial t}\right|_{i, n}+\left.\rho u \frac{\partial \phi}{\partial x}\right|_{i, n}-\left.\Gamma \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}\right|_{i, n}-\left.S\right|_{i, n}\right\} \\ =O(\Delta t)+O\left(\Delta x^{2}\right) \end{array}

因此：

T E=L_{\Delta x, \Delta t}\left(\phi_{i}^{n}\right)-L(\phi)_{i, n}=O\left(\Delta t, \Delta x^{2}\right)

3.离散方程的相容性

离散方程的截断误差随时间、空间步长趋近零时也趋于零，则说明离散方程与微分方程相容。

比如说当离散方程的截差为 $O(\Delta t^m, \Delta x^{n} )$ 的形式时，该方程具有相容性；但当截断误差表达式中含有

\Delta t / \Delta x

项时，相容性仅在一定的条件下才能满足。。

4.数值解的离散误差

数值解的离散误差是指：在网格节点

(i,n)

上离散方程的精确解 $\phi_{i}^{n}$ 偏离该点上相应的微分方程精确解 $\phi(i,n)$ 的值。

相同网格密度下，截断误差的阶数提高，离散误差会随之减小；同一离散格式，网格加密，离散误差也会减小。

5.离散方程的收敛性

当时间步长与空间步长趋近于0，如果各个节点的离散误差都趋近于0，说明该离散方程(或离散格斯)是收敛的。

6.舍入误差

离散方程再求解过程中不避免会引入舍入误差。定义计算机实际求得的解为

\widetilde{\phi}_{i}^{n}

，则节点

(i,n)

上的舍入误差为：

\varepsilon_{i}^{n}=\phi_{i}^{n}-\widetilde{\phi}_{i}^{n}

舍入误差的大小取决于所采用计算方法及计算机的字长。。

离散方程的数值解偏离精确解的总误差由离散误差与舍入误差两部分组成。

初值问题的稳定性

初值问题的稳定性主要考虑的是：在非稳态计算中，给定初始条件引入的误差或某时层计算引入的误差，会不会在以后各时层计算中被逐渐放大，导致物理问题的解被破坏。

稳定性与不稳定性

稳定性与不稳定性是离散格式的固有属性：稳定性-任何一个扰动在计算过程中被放大的程度是有限的；不稳定性-无论什么误差都会在计算过程中被不断放大，所得的解无意义。

Lax原理

Lax原理将收敛性与稳定性联系起来。对于适定的线性初值问题所建立起来的相容格式，稳定性是收敛性的充分必要条件。

在工程传热问题，只有常物性无源项的非稳态导热数值计算。才能用Lax原理判断数值计算可以获得收敛的解。对于非线性问题，离散方程的相容性和稳定性仅仅是获得收敛解的必要非充分条件。

von Neumann方法

von-Neumann方法是分析初值稳定性的常见方法，方法是从扰动传递出发。首先需要假设所计算问题边界值准确无误，然后再某一时层引入误差变量(扰动)，如果扰动随着计算进行(时间推移)而不断增大，则这格式是不稳定。如果扰动是衰减或保持不变，则格式是稳定的。

微信公众号：CFD控

知乎号：CFD控制

登录后免费查看全文

立即登录

App下载

技术邻APP
工程师必备

项目客服
培训客服
平台客服

TOP