搞定函数极限计算的”替洛泰拉“四字诀

【回复 搞定数学 获取pdf。先点赞】这篇文章是“搞定数学”系列第一篇，主要讲函数极限的基本计算方法。

一元函数的极限，计算不难，但后续的很多知识都要用到。

我现在能想到的典型题目有：根据极限确定参数的选择题，求渐近线方程，与导数结合的概念选择题、没说函数可导情况求给定极限的大题。

武忠祥老师总结了九种方法。

我据此归纳了最常用的四种类型，加上几个特定题型。

本文分为以下几部分：

1. 高数整体

2. 注意事项

3. 替

4. 洛

5. 泰

6. 拉

7. 其他

高数整体

首先贴一张根据武忠祥老师课程整理的高数框架，帮大家理清知识体系：

【图1.高数框架】

数学的具体复习方法，可以参考这篇：考研数学一经验分享

超级强烈推荐武忠祥老师高数强化课的“函数、极限、连续”、“导数与微分”、“微分中值定理”这几部分。

这些部分的计算看着简单，但里面的概念非常深，可以出很难的概念选择题。

当然，先别急，强化课要等基本计算没问题后再听。

这篇文章主要讲函数极限的基本计算方法。

注意事项

1）先判断一下属于哪种类型，是 ，，还是，方便选择做题方法。

2）要记得用基本运算化简，比如平方差公式，比如乘积因子cosx极限为1就直接写成1。

3）要记得使用条件，比如小量替换要看是否乘积因子，比如洛必达要看是否，。

替

替，指小量替换，这是最先学的方法，大家应该已经得心应手了吧。

基本的替换公式大家自己看书自己记。

补充几个利用泰勒得到的替换：

x→0时，

，

这些替换有对称美，很好记。

其中就是张宇老师的“狗减sin狗等于六分之一狗三”，

这个有意思的说法，确实让当初的我消除了对泰勒公式的恐惧。

首先要提醒的，是替换的使用条件。

第一是替换项应该是乘积因子（加减项某些情况也可以，但我容易记错，不太推荐用）。

第二是只能替换无穷小量。大家看下面这几个式子就能理解：

1）

2)

3)

解释一下第三个式子：

(洛必达)

=1

最后教大家一个超好用的结论：

对于型极限,可以直接写成这样：

比如

推导如下；

洛

洛，指洛必达法则，有时候必须用洛必达才能解，绝对不能忘记这个方法。

使用洛必达要注意使用条件:

第一是只适用于 或 类型。

第二是要求分子f(x)分母g(x)在极限的空心邻域可导且g’(x)不为0.

第二个条件，更直接的用法是在后面 “导数与微分”部分中，有时候要用导数的定义去求某一点的导数值，

如果题目说“f(x)二阶可导”，那洛必达一次出现f’(x)之后，就不能再用洛必达了。

如果题目说“f(x)二阶连续可导”，那可以洛必达两次，出现f’’(x)后，不能再用洛必达。

具体可以去看武老师的网课。

泰

泰，指泰勒公式，是我小量替换之外用得最多的一种方法。

大家可能会觉得泰勒公式比较难，但它其实就是一种更高阶的小量替换。

小量替换部分补充的几个公式，就是在用泰勒公式了。

想想张宇老师的“狗减sin狗等于六分之一狗三”，暂时先别管无穷小量，就会发现很简单，很好用。

常用的也就是sinx，arcsinx，tanx，arctanx，ln(1+x)，cosx.记住前两三项就行。

后面复习到级数部分时，会发现和展开公式是一样的。

更熟练的使用就要求对无穷小量的运算有了解。

m,n为正整数时，

o(m)*o(n)=o(mn)

o(m)+o(n)=o(min(m,n))

上面这两个不确定对不对，大家自己搜一搜。

在心里把o()直接当作就很容易理解。

拉

拉，指拉格朗日，不太常用，但近年考研考过几次。

之前把这个方法概括在“夹”字里，因为觉得就是夹逼的思想，方便自己理解。

但毕竟不严谨，也怕大家弄混函数极限和数列极限，所以改回“拉”字。

大家不要听到拉格朗日就害怕，思路很简单。

使用这种方法的标志就是出现两个同类函数相减。

利用的公式就是f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)，其中a<< span="">ξ<< span="">b。

那么就有，

当f’(ξ)在x=0的邻域连续时，f’(ξ)就介于f’(a)与f’(b)之间。

看武忠祥老师讲的这个例子：

=

 (极限存在，可以拆开)

其中

而 ，这就是夹逼的思想了。

转成数列极限（假装已经转过了），根据夹逼定理就有

所以

有些“相同函数”比较隐蔽，大家要能看出来。

我记得2020年数学好像考到类似这样的形式：。

它其实相当于，然后就能用柯西公式了。

拉格朗日也是同理，比如0=sin0=tan0=ln1=arcsin0，1==cos(pi/2)=arctan(pi/4)，要有一点这种意识，做大题可能用到。

其他

大家做题时，可以去试“替洛泰拉”，都不行就看看倒代换和有理化。

1）倒代换

2）分母有理化

3）以及一种特殊题型：

这种题最显著的特点，一是x趋向负无穷，另外是分子或分母含有根号里的平方项。

这种题要注意的就是，根号里的提到外面后是|x|，而不是x。

结果为：

=1

---

这篇梳理了一些常见方法，但真正掌握还得靠自己多练习多总结。

同一个题往往要灵活结合多种方法，可以按“替洛泰拉”、倒代换、有理化这样的顺序去试。

不要忘记利用最基本的四则运算方法去化简。

PS. 

数学知识的分享写起来好难啊，做题可以熟练地算下去，但讲清楚很不容易。没积累足够的例题，写起来束手束脚的。

花了好几天的午睡时间才写完，不算公式也两千多字了，打了大量公式的两千多字啊，觉得有用就快去点赞。