1. 什么是材料疲劳

材料疲劳是一种结构在循环载荷作用下出现失效的现象。疲劳裂纹是由反复施加的载荷引起的，若施加的载荷太小，则不会导致失效。疲劳裂纹通常从部件表面开始，这是裂纹萌生。然后，裂纹可能沿垂直于正应力的方向扩展。这是裂纹扩展。最后部件可能会断裂。

下图展示了疲劳断裂的三个阶段：

图1 疲劳断裂的三个阶段

在某些情况中，我们无法观察到裂纹扩展阶段的变化。这种情况下，裂纹在微观尺度上快速增长，最终导致组件突然失效。

裂纹扩展和最终断裂这两个阶段通常属于断裂力学 领域的研究内容。 而“ 疲劳 ” 主要适用于第一阶段。由于 部件 的大部分寿命都消耗在了 裂纹萌生阶段 ，因此，大多数设计方案都会尽可能避免出现此类 现象 。

这里插一句：断裂力学是固体力学的一个分支，它是研究材料和工程结构中裂纹扩展规律的一门学科。

现代疲劳理论为每个阶段提供了单独的分析。裂纹萌生理论是基于疲劳裂纹是由构件表面的局部应变和应力引起的假设。裂纹扩展理论将裂纹扩展与构件中的应力联系起来。用断裂力学对最终断裂进行了分析。早期的理论将整个疲劳寿命视为一个单独的整体，并将疲劳寿命与构件中计算的工程应力相关联。

下图显示了在弯曲试验中轴的疲劳断裂。裂纹萌生发生在表面（图片顶部）。裂纹的发展过程由条纹或海滩痕迹所显示，这些条纹占据了断裂面的大部分，图片底部有一小部分脆性断裂痕迹。

图2 断口照片

2. 低周和高周疲劳的区分

根据产生裂纹所需的载荷循环次数，人们习惯将疲劳分为低周疲劳 和高周疲劳。两者之间的界限并不明确，但通常以 1~ 10万次循环作为区分的依据。

在高周疲劳情况下，应力足够低，因此应力-应变关系可以被认为是 线 弹性的。 而低周疲劳则包含非线性行为，材料应力-应变关系呈现滞回特性。 在分析高周疲劳时，应力范围通常用于描述 受力 状态 ，而 在分析低周疲劳时， 则会选择 应变范围或耗散能量。

3. 高周疲劳的数学模型

材料疲劳领域的研究最早开始于 19 世纪，这一领域的持续发展产生了许多疲劳预测方法。其中一个经典模型就是 S-N 曲线。这一曲线将材料失效前所经历的循环次数（即寿命）N 与单轴加载的应力幅值关联起来。 曲线在水平轴上代表失效循环数，在垂直轴上代表载荷幅值。如果两个轴都使用 log10 尺度，对于许多部件，载荷寿命关系将在很大的耐久性范围内近似于一条直线。 总的趋势是，降低应力幅值，可以获得更长的材料使用寿命。通常这种相关性非常强，可以达到应力幅值降低10% 就能够将使用寿命延长50% 。

图3 载荷与失效循环数的关系

某些材料在疲劳试验中表现出了应力阈值，称为疲劳极限，当应力低于该阈值时， 将 不会出现疲劳损伤，组件的运行寿命可以无限长。 对于钢，在大约10 ⁷ 次循环时可能有一个持久极限，这意味着幅值小于疲劳极限载荷的循环不会导致疲劳破坏，无论它们被施加多少次。

并非所有材料都有疲劳极限。有些材料即使在低 水平应力作用下，也会因疲劳而失效，比如铝合金。

将载荷幅值与特定部件的耐久性联系起来的疲劳曲线并不具有广泛适用性 —— 例如，如果部件的形状发生变化，该曲线将变得无效。这时就需要对疲劳耐久性曲线进行推广，使其适用范围更广。

概括起来主要有三个方面：

1. 允许使用恒幅疲劳曲线来分析复杂的荷载历程；

2. 允许从光滑试样试验获得的疲劳曲线用于不同形状的构件；

3. 允许通过测试一种材料获得的疲劳曲线用于计算另一种材料的疲劳寿命 —— 如果可能，在不进行疲劳试验的情况下估计材料的疲劳特性。

疲劳曲线显示了导致部件失效所需的恒幅荷载的加载次数。实际部件在使用中通常不承受恒幅载荷。实际疲劳分析需要一种计算构件承受变幅载荷疲劳寿命的方法。

图4 载荷历程

上图显示了由两组恒幅载荷组成的荷载历程。假设荷载历程将重复，直到部件发生故障。

如果载荷仅由较大的幅值P _a1 组成，则当施加的循环次数n ₁ 等于从耐久性曲线获得的失效循环次数N ₁ 时，构件将发生失效，这里忽略试验结果中的任何分散性。

图5 P a1 vs. N 1

显然，比率 在失效时的值为1.0 。

类似地，如果荷载仅由较小的振幅 P _a2 组成，当施加的循环次数 n ₂ 等于从该幅值的耐久性曲线获得的失效循环次数N ₂ 时，将发生失效。

图6 Pa 2 vs. N2

失效时，比率 在失效时的值为1.0 。

为了计算组合载荷的寿命，有人提出：如果对于任一幅值，当 失效发生。那么对于组合信号，当 ，失效发生。

对于更复杂的载荷，具有许多不同的幅值，当满足下式时失效将发生：

      

这种关系最早由 Palmgren( 帕尔姆格伦 ) 提出，后来由 Miner( 米勒 ) 提出，这就是 Palmgren-Miner( 帕尔姆格伦 - 米勒 ) 累积损伤假设，或 Miner 准则。

4.低周疲劳的数学模型

低周疲劳时塑性应变的损伤贡献占主导地位，因此低周疲劳也称应变疲劳。

疲劳裂纹通常是由孔和圆角等几何形状引起的应力集中造成的。局部应力应变疲劳分析假定，小裂纹萌生前的寿命由应力集中部位小体积材料中产生的应力和应变序列决定。因此，如果在相同材料的光滑试样上再现相同的应力 - 应变序列，将获得相同的疲劳寿命。

尽管许多工程部件的设计使其在正常工作载荷下的应力和应变低于弹性极限，但在局部应力集中时可能发生屈服，如果疲劳裂纹要萌生，情况必然是如此的。应变寿命分析的应用要求描述材料对循环弹塑性应变的响应，以及这些应变与疲劳寿命之间的关系。这种疲劳分析方法被称为局部应变寿命、局部应力应变或危险位置分析。

局部应变寿命法对于实际的疲劳研究很有吸引力，在疲劳研究中，可以使用应变计测量应变。有限元模型也给出了模型中每个位置的局部应力和应变，因此局部应变寿命法非常适合于使用有限元模型进行疲劳设计。

图8 局部应变

关键位置的应力和应变称为局部应力（σ）和局部应变（ε）。远离缺口且不受其影响的应力和应变为名义应力（S）和名义应变（e）。

如果圆柱形试样承受拉伸、压缩和再次拉伸的载荷，并且在每次施加载荷时发生屈服，则材料的响应是真实应力和真实应变的滞回线。

图9 真实应力应变循环行为

光滑的试样可以在固定应变极限之间循环，直到产生疲劳裂纹。如果在不同的等幅应变循环下对多个试样进行试验，则可根据真实应力幅绘制试验寿命。如果坐标轴为log10（应力幅值）和log10（耐久循环），则试验数据点将近似于一条直线。

图1 0 真实应力幅与耐久性

需要注意，耐久性不是表示为 N 个循环，而是表示为 2Nf 半循环或反转数。 Nf 是循环数， 2Nf 是反转数。

建立应力幅值与耐久性的关系式：

              （式 1 ）

或：

              （式 2 ）

这种线性关系最早由 Basquin（ 巴斯昆 ） 于 1910 年提出。 2Nf=1 时的截距 σ‘f 是疲劳强度系数，斜率 b 是疲劳强度指数（巴斯昆指数）。试验结果也可以在 log10-log10 坐标轴上绘制为总应变幅与耐久性的关系。

图 11 总应变振幅与耐久性

通过分别考虑总应变的弹性和塑性分量（图 12 ），可以得到应变 - 寿命关系的方程。

应力与应变的弹性分量之间的关系为：

              （式 3 ）

图1 2 弹性应变和塑性应变之和的循环应力应变滞回曲线

由于真实应力和弹性应变之间存在线性关系，因此通过与应力 - 寿命关系（式 3 ）的比较，弹性应变与耐久性的关系图是 log10 （弹性应变幅）和 log10 （耐久性）轴上的一条直线，其斜率b与图1 0 所示的应力 - 寿命关系相同。

图 13 弹性应变幅与耐久性的关系

将式 2 的两边除以弹性模量 E ，得到：

              （式4）

Manson和Coffin指出，塑性应变幅和耐久性之间的关系也可以表示为log10-log10轴上的直线（图14）。方程式是：

              （式5）

所以：

              （式6）

图 14 塑性应变幅值与耐久性的关系

总应变是弹性应变和塑性应变之和：

      

应变幅：

      

因此，从式4和式 6 得到的应变-寿命关系是：

                     （式7）

其中：

b       疲劳强度指数（ Basquin 指数）

σ’f        疲劳强度系数

c        疲劳延性指数（ Coffin-Manson 指数）

ε’f        疲劳延性系数，即 2Nf=1 时的塑性应变幅

E       弹性模量

图 15 总应变振幅与耐久性的关系

用于确定应力寿命和应变寿命方程的试验寿命是光滑圆柱形试样中长度通常为1mm的小裂纹的寿命。局部应变寿命分析是计算小裂纹萌生时疲劳寿命的一种方法，是裂纹萌生的判据。

参考资料：

[1] 杨新华，陈传尧 ，疲劳与断裂 [ M ]. 武汉：华中科技大学出版社 , 2018

[2] F E -safe fatigue theory reference, [OL]. Dassault Systèmes, 2020