自1999年美国西北大学以Belytschko教授^[1]为代表的计算力学课题组提出的扩展有限元概念至今已有23年，该理论基于传统有限元的单位分解思想，在不连续位置通过富集自由度的形式表达不连续场，既保持了计算过程中的收敛性，又可以很好的解决传统有限元在面对不连续问题时的困境。本文基于大型非线性有限元商用软件Abaqus模拟混凝土I型开裂行为，主要内容包括：混凝土开裂模型介绍、数值模拟细节、后处理分析。

模型介绍

    本文讲解的模型数据选自胡少伟课题组^[2]，模型尺寸图所示，弹性模量：30 GPa，泊松比：0.167，抗拉强度：1.65 Mpa，断裂能：102.8 N/m，预置裂纹长度为80 mm。

图 1 混凝土开裂模型尺寸

模拟细节

    Abaqus以非线性计算为自身优势，在众多有限元软件中一骑绝尘，本文选用Abaqus作为模拟工具。

整体介绍

    为减少计算成本，整体采用平面应力模型，读者也可根据自己需求建立三维实体模型。支座与压头使用离散刚体，即刚度无限大，不参与计算过程，不要忽略了刚体的参考点设置。

图1 2D三点弯曲梁模型图

材料属性

    应用Maxps Damage断裂准则，损伤演化采用以能量线性Linear软化本构，断裂能参数输入至Fracture Energy，粘性系数Damage Stabilization Cohesive-Viscosity coefficient选用1.0 e-4~1.0 e-5，该选项的作用是帮助收敛，取值范围是一个经验性的取值，具体的范围取值可参照Ahmad^[3]的建议 。

图 2 材料属性设置

分析步设置

    在断裂分析中，结构大变形开关应保持开启(Nlgeom：on)，最大增量步数可以适当调整，初始分析步应相对减小，使得结构在启裂阶段更容易收敛，最小增量步也应适当减小，在这里我设置的1.0E-12，大家可以试一试别的数值，最大增量步无实际含义，保持默认值1不变即可。

    场变量设置中，应勾选裂纹面水平集函数(PHILSM)、裂尖水平集函数(PSILSM)、XFEM状态(STATUSXFEM)。

    历程变量设置(非必须设置，用于后处理)，建立三个Set集合用于P-CMOD曲线绘制，压头刚体参考点设置为Set-pun，用于输出支反力RF；裂纹左网格节点设置为Set-L，用于输出左向位移；裂纹右网格节点设置为Set-R，用于输出右向位移，即CMOD=右向位移-左向位移(个人理解)。

图3 分析步设置

图4场变量设置

图 5 建立 Set 集合

相互作用设置

    创建初始裂纹(Special-Crack-XFEM)，裂纹区域可以指定整个梁的范围，也可以自定义裂纹可能要开裂的范围，本次案例指定梁的中部区域。

图5 XFEM裂纹设置

    一定要在Interaction中创建XFEM crack growth类型的相互作用，选中预设的XFEM Crack，支座与梁体、压头与梁体的接触均采用硬磨擦的形式，摩擦系数采用0.1，该值也是经验取值。

图 6 相互作用设置

边界条件设置

    本案例中将底部的所有自由度全部锁定，以位移方式进行加载，加载幅值为1.5 mm(经验取值)。

网格设置

    网格类型采用平面应力网格(CPS4)，一定不要选用减缩积分，否则会频繁报错！对于裂纹扩展区域进行局部网格加密，以提高精度。模型规模：2500个CPS4单元，39个R2D2刚体单元，2685个单元节点。

提交作业

    使用8个并行核心数计算，个人笔记本配置：8G内存-CPU 8核。模型耗时1分钟，很大程度上改善了传统有限元在解决不连续问题时出现网格重划分，计算成本高昂的缺点。

图 7 提交作业

后处理分析

    Create XY Data-ODB history output保存Set-pun的反力RF曲线，同样地保存Set-L的左位移L曲线，Set-R的右位移R曲线，如图8所示。Operate on XY data，操作已保存的曲线combine(“R”-“L”,-“pun”)，保存为P-CMOD曲线，如图9和图10所示。将曲线数据导出至Origin，与实验曲线进行对比，如图11所示，吻合程度较高。

图 8 绘制历程变量曲线

图 9 绘制P-CMOD曲线

图 10 模型 U2 云图（左）和 P-CMOD 曲线（右）

图 11 P-CMOD 曲线模拟值与实验值对比

结论

    本次研究基于Abaqus的扩展有限元功能，模拟了混凝土三点弯曲梁在受力作用下发生I型断裂的过程，并与实验P-CMOD曲线进行对比，具有很高的吻合度，可以较为真实的模拟混凝土I型断裂行为，对于实际工程的混凝土断裂分析提供了一定程度上的参考价值。

参考文献

[1] Belytschko T, Black T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1999.     

[2] 胡少伟, 鲁文妍. 基于XFEM的混凝土三点弯曲梁开裂数值模拟研究[J]. 华北水利水电大学学报(自然科学版), 2014, 35(004): 48-51.    

[3] Ahmad H, Sugiman S, Jaini Z M, et al. Numerical Modelling of Foamed Concrete Beam under Flexural Using Traction-Separation Relationship[J]. Associação Brasileira de Ciências Mecânicas, 2021, (5).