本示例问题是使用非线性稳定的非线性屈曲和后屈曲分析。该问题使用一个承受均匀外压力的环肋圆柱来说明如何找到非线性屈曲载荷，在屈曲后阶段实现收敛，并解释结果。
简介
屈曲分析对于成功的结构设计和仿真至关重要，尤其是当涉及薄壳和梁等结构时。虽然线性屈曲分析相对简单，但它受到近似值的限制，无法模拟后屈曲现象。非线性屈曲分析没有这些局限性，因此是首选的，即使它稍微复杂一些，需要一些试错实验。
通过类比，在物理世界中也很难确定屈曲的开始。“从科学和工程的角度来看，当肉眼可见结构未变形时，屈曲现象的有趣阶段通常发生在变形非常大之前或仅轻微变形”。为了进行非线性屈曲分析，需要特殊的非线性分析技术来克服收敛困难，通常需要进行一些试验。
以下技术可用于解决不稳定性或屈曲问题：
• 非线性稳定
该能力处理屈曲的局部和全局不稳定性，可用于除弧长法以外的任何其他非线性技术。
• 弧长法
该方法仅处理施加力时的整体失稳或屈曲，并可以模拟载荷-位移曲线的负斜率区域
• 将静态问题作为“慢动态”分析
该技术使用动态效果来防止发散，但可能很难使用。
本示例使用外部静水压力下的环形加紧圆柱来演示如何预测屈曲载荷并借助非线性稳定来模拟后屈曲现象。将数值模拟结果与参考实验结果进行了比较。
问题描述
一个由裸露的2024-T3铝合金制成的圆柱体内部用五个Z形环加固。它的两端用厚铝隔板封闭。在顶板和顶环以及底板和底环之间存在铆接的L形截面。
圆柱承受外部压力差。压力导致局部屈曲现象，其特征是加强环之间的蒙皮屈曲，最终导致坍塌。对屈曲压力、屈曲和坍塌模式、圆柱体屈曲的波数以及荷载-位移曲线进行了检查，并与参考结果进行了比较。
下表显示了圆柱尺寸、环间距以及圆柱和Z-截面环的厚度。所选尺寸基于参考模型。
建模
环肋圆柱的有限元模型由26796个SHELL281单元组成，单元尺寸为10 mm。屈曲分析需要精细网格，并且需要完整的360度模型，因为屈曲发生后变形不再是轴对称的。
所有壳单元具有均匀的厚度。在模型中创建了五个没有偏移的截面，因此默认情况下，壳截面偏移到中间平面。
下图显示了壳网格（/ESHAPE）的网格（a）和展开实体表示（b）：
该图显示了圆柱、板和Z形环的45度圆柱扇形
材料参数
圆柱、环和板由2024-T3薄板铝合金制成，并具有以下材料性能（根据AMS 4037性能数据）：
使用von Mises屈服标准和各向同性硬化（TB，BISO）对材料的塑性部分进行建模，用双线性应力-应变曲线描述，该曲线具有以下常数：
切线模量是假设的，因为参考文献中没有提供该特性的数据。由于参考文献并未提供所有必要的材料数据，一些材料数据是从其他出版物中获得的，其中详细说明了相同材料的特性。
边界条件和加载
用于该问题的圆柱体广泛用于支持潜艇船体和航空航天应用中的外部压力载荷；因此，参考实验将圆柱体建模为自由漂浮物体进行测试。
对于该数值分析，唯一需要的边界条件是防止刚体运动的六个边界条件。因此，总共六个位移被施加到位于顶板上0度、90度和270度的三个节点上；节点受到限制，使得圆柱体不可能进行所有刚性平移和旋转。
载荷由均匀分布的外部压差组成：Pext=0.24 MPa
分析和求解控制
在大多数情况下，线性屈曲分析仅为实际结构的屈曲行为提供上限。因此，通常优选进行非线性屈曲分析，这可以考虑非线性材料行为和大挠度响应的影响。
进行非线性屈曲分析
获得环肋圆柱非线性屈曲和坍塌的方法基于以下操作顺序：
1. 进行线性（特征值）屈曲分析
2. 生成缺陷
3. 进行非线性屈曲分析
进行线性（特征值）屈曲分析
该初步分析预测了理想线性弹性结构（完美圆柱体）的理论屈曲压力以及下一步中用于产生缺陷的屈曲模态形状。这也是检查建模完整性和正确性的有效方法。
为了进行线性屈曲分析，必须获得具有预应力效应的静态解，然后使用Block Lanczos方法和模态展开法获得特征值屈曲解，如以下示例输入所示：
生成缺陷
如果一个结构是完全对称的（也就是说，它的几何形状-包括网格样式-和载荷都是对称的），则在数值上不会发生非对称屈曲，并且非线性屈曲分析会失败，因为无法触发非对称屈曲响应。
在这个问题中，几何、单元和压力都是轴对称的。因此，不可能用初始模型模拟非轴对称屈曲。为了克服这个问题，必须引入小的几何缺陷（类似于制造真实结构引起的几何缺陷）来触发屈曲响应。
尽管也可以引入小扰动载荷以达到相同的目的，但这不是一种理想的方法，因为很难确定载荷的大小以及在何处施加载荷。此外，过大的扰动负载可以完全改变问题。
几何缺陷可以以屈曲模态的形状或具有随机振幅的给定形状产生。
• 通过运行初步线性屈曲分析，然后将有限元模型的几何结构更新为变形结构，可以获得屈曲模式形状中的缺陷。这项技术是通过添加按比例因子减少的振型位移来实现的。添加一些模态形状是安全的，以避免缺陷中的任何偏差。
• 通过用随机数修改节点坐标（使用RAND参数函数）引入伪随机缺陷。
缺陷大小通常取决于几何形状，且应与制造公差在相同范围内（通常小于1%），以便在分析过程中不会改变问题。
对于该问题，将缺陷添加为初步屈曲分析中提取的前10个模态形状的总和。（虽然也可以使用随机缺陷，但它们的缺点是不能重复；因此，每次运行分析时，结果都会不同。）
由于圆柱体的半径为355.69 mm，而振型的最大位移为1 mm，因此在使用振型更新几何图形时应用系数0.1。该系数假定半径的制造公差约为0.1。以下输入示例显示了如何添加缺陷：
进行非线性屈曲分析
非线性屈曲分析是在添加具有大挠度主动（NLGEOM，ON）的缺陷后进行的静态分析，延伸到加筋圆柱可以达到其极限载荷的点。
为了进行分析，必须允许载荷以非常小的时间增量增加，以便准确预测预期的临界屈曲载荷。
以下示例输入运行非线性屈曲分析：
在屈曲时或屈曲后，预计会出现一些收敛困难，因此，使用所有重启动文件恢复非线性稳定分析是很有用的。最好在每个子步骤（RESCONTROL,DEFINE,ALL,1）或至少每隔几个子步骤都有重启文件，因为几乎不可能确定何时开始屈曲，因此何时通过重启激活稳定。
后屈曲分析
非线性静力分析的未收敛解可能意味着发生了屈曲，但并非总是如此。当结构未变形或仅轻微变形时，在变形变得非常大之前开始发生屈曲
通过肉眼观察很难检测到屈曲开始，但可以通过绘制载荷-位移曲线或通过监控文件检查来观察。要检测屈曲起始时刻，请仔细研究此阶段的监控文件，如图所示：
从监控文件中，可以进行以下观察，以帮助确定屈曲是否开始发生以及何时发生，如下所示：
• 收敛出现困难。程序将加载步长增量平分，并在较小的加载下尝试新的解
• 监测的最大位移具有瞬时值变化。对于特定于屈曲的较小载荷增量，这是大位移发生的好指标。
• 监测到的最大位移在符号上有瞬时变化。这是开始发生屈曲的另一个好指标。
在该示例中，时间（或载荷）增量和位移值的变化发生在子步骤10和11之间，这对应于时间=0.51781和时间=0.53806，并且对应于0.124MPa和0.129MPa之间的压力。因此，此时很可能发生屈曲；可以肯定的是，分析仍在继续。目的是通过获得更大范围内的载荷-位移特性来验证本阶段所做的评估。
如果收敛困难是由屈曲引起的，则恢复分析意味着开始屈曲后分析。由于后屈曲状态不稳定，因此需要特殊技术进行补偿。在静态分析中，非线性稳定是最佳选择。当存在局部屈曲或时间相关材料时，这是唯一的选项。
通常应避免在初始运行中遇到收敛困难的子步骤（在这种情况下为13）作为重新开始的子步骤；因此，为了继续进行屈曲后分析，从子步骤10开始激活稳定。如果在该子步骤中出现收敛，并且假设稳定能量最小，则可以接受该解。
以下示例输入运行屈曲后分析：
如果没有收敛，则应尝试更早的子步。
施加非线性稳定
有两种方法可用于控制稳定力：
• 应用阻尼系数（STABILIZE，，damping，，，）
• 应用能量比（STABILIZE，，energy，，）
选择使用哪种方法，然后为能量或阻尼因子选择正确的值，都是非常重要的决定。要使用的最佳选项和值取决于不稳定性的类型、模型中使用的单元类型和大小以及加载步的结束时间和子步数。在大多数情况下，决策是基于试错纠正过程。目标是以最小的稳定力实现收敛，该稳定力可以通过能量比或阻尼系数进行控制。
阻尼法
第一次试验通常使用能量选项进行，因为：
• 它具有可使用的特定值范围（介于0和1之间），以及
• 运行后，在下一子步开始时计算阻尼系数，为可使用的阻尼系数提供参考值（如果选择阻尼作为稳定方法）。
尝试的第一个能量值提供了0.1e-2的阻尼因子，这有助于收敛，但不会产生显著的屈曲。然后，阻尼值逐渐减小到0.1e-5，即使在每种情况下都实现了收敛，但由于屈曲导致的坍塌也没有发生。0.1e-6的值不会导致收敛，应用阻尼系数法的试验停止。
观察到的是由于该问题固有的局部化现象。当应用阻尼时，所有单元都使用指定值。当施加的阻尼值太大时，结构上施加的稳定力太大，因此系统刚度太大，容易收敛，不会产生太大变形。相反，当施加的阻尼太小时，不稳定单元不会从足够的稳定力中受益，因此解会发散。
结论是，阻尼选项对于涉及显著局部屈曲的问题并不理想。
能量法
由于该问题的特点是局部不稳定性而非全局不稳定性，因此稳定化的能量方法更为有用。能量法对不同的单元使用不同的阻尼值，因此不稳定性大的单元具有较高的阻尼值而不稳定性小的单元具有较小的阻尼值。因此，可以补偿不稳定性而不会使系统刚度变得过大。
在确定该问题应通过能量法进行稳定后，使用0.001至0.0001范围内的能量比进行了几次试验。试验表明，较大的能量比会导致收敛，但不会产生显著变形和过度稳定能量，较小的能量比导致不收敛。
发现提供收敛的最小稳定能量比为0.000143。利用该值，分析收敛并达到满载，同时观察到显著的屈曲，并将整体稳定能量保持在尽可能低的水平。
下图显示了刚度和稳定能量的时间历程图：
结果和讨论
在下图中，线性屈曲分析结果显示了屈曲时的40周向全波：
波数大于参考实验中获得的、理论预测的或当前非线性屈曲分析和后屈曲分析中获得的波数。
所有提取的特征值都聚集在0.63的临界值附近，这相当于0.15 MPa的屈曲压力。这种行为是预期的，并且是高度对称系统的特征，例如静水压力下的环形加强圆柱。正如这个问题中的情况一样，众所周知，完全对称的系统对缺陷非常敏感，因为许多不同的模态与相同的特征值或紧密间隔的特征值相关。
一般而言，具有稳定性的非线性屈曲分析结果与参考结果一致，如下所示：
预期的屈曲行为
屈曲发生在TIME=0.5178和TIME=0.559之间，转化为压力介于
0.124和0.134 MPa。这些值与0.121MPa的参考屈曲压力密切相关。
结果可以从位于第一环下方的节点的施加压力与轴向缩短的关系图中验证。下图显示了（a）一个节点的施加载荷与轴向缩短的关系，以及（b）同一节点的轴向缩短与时间的关系，但使用了较短的应变范围（最高0.002）：
上图中曲线（b）中使用的应变范围较短，可以很容易地观察曲线斜率的变化，并且可以很容易预测屈曲时间（压力）。当载荷-位移曲线（在这种情况下为压力-轴向缩短曲线）的斜率变为零或突然显著减小时，就会发生屈曲。
位移在时间0.5178和0.559之间几乎恒定，其中载荷-位移斜率为零或略负。当载荷接近最大值时，变形速率会非常快地增加，直到圆柱失效。
从TIME=0.98到TIME=1，总变形从11.2 mm增加到47.7 mm，此时环和环之间的蒙皮失效。曲线与实验结果吻合较好。
注意：
参考文献中未报告某些材料特性，用于获得参考结果的圆柱体可能存在几何缺陷之外的缺陷。材料数据中的任何其他缺陷或差异当然会影响与实验结果的比较。
下图提供了一个更好的屈曲现象视图，由具有最大变形的节点的施加压力与径向位移曲线给出：
一个复杂的屈曲机制是显而易见的。当位移不再是线性的且斜率与其方向相反时，在大约0.129 MPa时，屈曲明显开始发生。位移随着斜率符号（从负到正）的变化而继续，对应于屈曲的向内和向外位移，最大为0.22 MPa。此时，位移急剧增加并导致失效。
下图显示了当屈曲开始时，TIME=0.5178（屈曲压力0.124 MPa）时的总变形；通过肉眼观察几乎无法检测到变形，但已经发生屈曲：
下图显示了TIME=0.559（压力0.134 MPa）时的变形，对应于施加压力-轴向缩短曲线上的零斜率平台。结果与参考数据和观察结果相当。
压垮数量减少
如以下动画所示，在整个模拟过程中，压垮数会减少（在参考实验结果中也观察到这种行为）：
压垮（20）的数量与理论（20）一致，并且接近参考结果（19）。
压垮尺寸和行为与参考结果一致
最深的压垮由两个波合并而成，位于第二环和第三环之间。塌陷时最深的压垮尺寸为260 mm（接近300 mm的参考尺寸）。
第一和第二环以及第三环和第四环之间的压垮尺寸为140mm，与参考结果中的相应压垮尺寸140mm一致。
圆柱一侧形成的压垮在另一侧之前，这与参考观察结果一致。
塑性对屈曲结果影响不大
没有观察到塑性影响参考结果和模拟结果。von Mises应力低于屈曲时的屈服应力（269 MPa），如图所示：
只有局部高应力区域存在于环之间的失效位置，如图所示：
建议
在进行类似的非线性屈曲和屈曲后分析时，应考虑以下提示和建议：
屈曲分析指南
进行非线性屈曲分析时，应考虑以下提示和建议：
• 了解非线性屈曲分析可能很复杂。
非线性屈曲或屈曲后分析不是一次运行分析，而是一组分析。静态分析中需要一些先进的非线性技术，如稳定化，这可能需要反复试验。
• 首先做一个线性屈曲分析
最好从线性屈曲分析开始，以验证模型的正确性和完整性，并大致了解屈曲载荷可能有多大。在线性分析中，可以扩展振型以预测屈曲振型（用于稍后引入几何缺陷）。
• 应引入几何缺陷或扰动载荷。
建议采用线性屈曲分析模式引入几何缺陷。缺陷的大小应在制造公差范围内。
• 检查监控文件
当非线性分析因收敛困难而停止时，应仔细检查监控文件。子步中的许多等分表示不稳定，位移值的显著变化可能意味着开始发生屈曲。
• 使用非线性稳定重启分析
为了验证非线性屈曲荷载并进行屈曲后分析，应使用一些先进的非线性技术重新开始分析，以检查更大范围载荷的载荷位移行为。在静态分析中，非线性稳定是首选，并且是存在局部屈曲或时间相关材料的唯一选择。
• 确定最佳位移，以在载荷-位移曲线上找到屈曲载荷
屈曲载荷是载荷-位移曲线斜率显著减小的载荷。应选择哪个节点和哪个方向的位移取决于所解决的问题，可能需要进行一些试验以找到最佳位移。一些位移比其他位移更清楚地显示了屈曲的开始。
非线性稳定指南
为了在屈曲后分析中应用非线性稳定以实现收敛，请考虑以下准则：
• 确定存在哪种类型的屈曲（局部或全局）。
屈曲类型有助于确定使用哪种稳定方法（阻尼或能量）。对于局部屈曲，能量法是唯一的选择。对于整体屈曲，可以使用能量法或阻尼法。
• 总是先尝试使用小值的能量法。
如果阻尼是控制稳定的理想方法，则获取阻尼系数值并将其用作参考值。
能量法是后屈曲分析的首选方法。然而，由于能量比的范围仅为0至1，因此必要时可以使用阻尼来获得稳定力的非常精细的控制。阻尼系数可以是任何正数，但不应偏离参考值太远。
当尝试不同的能量比时，不要改变子步数或时间，因为这会影响比较，从而影响决定应该使用哪种稳定方法。
• 尽可能使用最小的阻尼系数或能量比。
规定的能量比或阻尼系数应足够大以避免发散，足够小以避免过大的刚度。最好的解应该是使用最小能量比或阻尼因子收敛的解。
• 通过多帧重启激活稳定。
尽管您可以在解决方案开始时激活非线性稳定，但在大多数情况下，在多帧重新启动时激活稳定更为有效和准确。如果这样做，请保存重新启动文件并从最后一个收敛子步之前的子步重新启动。如果子步有许多等分或大量迭代，请在之前尝试一个子步，或者监测位移显示出显著变化的子步（因为它可能是屈曲开始的点）。
• 应用稳定后检查结果。
如果稳定阻尼或能量值过大，精度可能会受到影响。稳定能应远小于应变能。结果检查可以在POST1（/POST1）或POST26（/POST26）后处理器中进行。
参考文献
Bushnell, D. (1985). Computerized Buckling Analysis of Shells. Springer, New York.
Dow, D. A. (November, 1965). Buckling and postbuckling tests of ring-stiffened circular cylinders loaded by uniform external pressure. NASA Technical Note NASA TN D-3111. Langley Research Center.
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