UMAT是什么？
UMAT:[user defined material mechanical behavior]用户材料子程序,是ABAQUS提供给用户自定义材料属性的FORTRAN程序接口;注意是接口程序,真正的定义材料的力学行为即属性,是用户自己编译的FORTRAN程序来实现的!UMAT通过与ABAQUS主求解程序的接口实现与ABAQUS的数据交流
UMAT实现的功能[-摘自庄茁老师的书]
UMAT子程序具有强大的功能，使用UMAT子程序：
(1)可以定义材料的本构关系，使用ABAQUS材料库中没有包含的材料进行计算，扩充程序功能。
(2)几乎可以用于力学行为分析的任何分析过程，几乎可以把用户材料属性赋予ABAQUS中的任何单元；
(3)必须在UMAT中提供材料本构模型的雅可比（Jacobian）矩阵，即应力增量对应变增量的变化率。
(4)可以和用户子程序“USDFLD”联合使用，通过“USDFLD”重新定义单元每一物质点上传递到UMAT中场变量的数值。
UMAT开始的变量声明
由于主程序与UMAT之间存在数据传递，甚至共用一些变量，因此必须遵守有关书写格式，UMAT中常用的变量在文件开头予以定义，通常格式为：
SUBROUTINE UMAT(STRESS,STATEV,DDSDDE,SSE,SPD,SCD,
1 RPL,DDSDDT,DRPLDE,DRPLDT,
2STRAN,DSTRAN,TIME,DTIME,TEMP,DTEMP,PREDEF,DPRED,CMNAME
3 NDI,NSHR,NTENS,NSTATV,PROPS,NPROPS,COORDS,DROT,PNEWDT,
4 CELENT,DFGRD0,DFGRD1,NOEL,NPT,LAYER,KSPT,KSTEP,KINC)
INCLUDE'ABA_PARAM.INC'-----此处是将ABAQUS本身自带的参量精度定义的文件包含进来
CHARACTER*80 CMNAME
DIMENSION STRESS(NTENS),STATEV(NSTATV),
1 DDSDDE(NTENS,NTENS),DDSDDT(NTENS),DRPLDE(NTENS),
2 STRAN(NTENS),DSTRAN(NTENS),TIME(2),PREDEF(1),DPRED(1),
3 PROPS(NPROPS),COORDS(3),DROT(3,3),DFGRD0(3,3),DFGRD1(3,3)
-------------------------------以上是变量声明
user coding to define DDSDDE,STRESS,STATEV,SSE,SPD,SCD
and,if necessary,RPL,DDSDDT,DRPLDE,DRPLDT,PNEWDT
-------------------------------此处,是将用户定义材料属性的fortran程序编入
RETURN------------------这是返回值
END------------------------结束
UMAT中各个变量的详细解释[仅供参考]
DDSDDE (NTENS ,NTENS)
是一个NTENS[Number of the Tensions----david]维的方阵，称作雅可比矩阵，应力增量/应变增量的偏导数，DDSDDE (I ,J)表示增量步结束时第J个应变分量的改变引起的第I个应力增量的变化!雅可比是一个对称矩阵，除非在“*USER MATERIAL”语句中加"UNSYMM"参数
STRESS (NTENS)
应力张量矩阵，对应NDI[Number of the Direct Components--david]个直接分量和NSHR[Number of the shear Components-david]个剪切分量.在增量步的开始,应力张量矩阵中的数值通过UMAT和主程序之间的接口传递到UMAT中,在增量步的结束,UMAT将对应力张量矩阵更新,即[return].对于包含刚体转动的有限应变问题，一个增量步条用UMAT之前就已经对应力张量进行了刚体转动,因此在UMAT中只需处理应力张量的共旋部分.UMAT中应力张量的度量为柯西（真实）应力
STATEV (NSTATEV)[STATE VARIABLES (Number of the State Variables)]
用于存储状态变量的矩阵，在增量步开始时将数值传递到UMAT中。也可在子程序USDFLD或UEXPAN中先更新数据，然后增量步开始时将更新后的数据传递到UMAT中。在增量步的结束必须更新状态变量矩阵中的数据。
和应力张量矩阵不同的是：对于有限应变问题，除了材料本构行为引起的数据更新以外，状态变量矩阵中的任何矢量或者张量都必须通过旋转来考虑材料的刚体运动。状态变量矩阵的维数NATATEV，等于关键字“*DEPVAR”定义的数值。状态变量矩阵的维数通过ABAQUS输入文件中的关键字“*DEPVAR”定义，关键字下面数据行的数值即为状态变量矩阵的维数。
材料常数的个数，等于关键字“*USER MATERIAL”中“CONSTANTS”常数设定的值。PROPS (NPROPS)材料常数矩阵，矩阵中元素的数值对应于关键字“*USER MATERIAL”下面的数据行。
SSE，SPD，SCD
分别定义每一增量步的弹性应变能[Elastic Strain Energy]，塑性耗散[Plastic Dissipation]和蠕变耗散[Creep Dissipation]。它们对计算结果没有影响，仅仅作为能量输出。
STRAN (NTENS)：应变矩阵；
DSTRAN (NTENS)：[D--大抵代表Deta,增量的意思-david]应变增量矩阵；
DTIME：增量步的时间增量；
NDI：直接应力分量的个数；
NSHR：剪切应力分量的个数；
NTENS：总应力分量的个数，NTENS =NDI +NSHR。
关于沙漏刚度控制和横向剪切刚度
使用UMAT时需要注意单元的沙漏控制刚度和横向剪切刚度。通常减缩积分单元的沙漏控制刚度和板、壳、梁单元的横向剪切刚度是通过材料属性中的弹性性质定义的。这些刚度基于材料初始剪切模量的值，通常在材料定义中通过“*ELASTIC”选项定义。但是使用UMAT的时候，ABAQUS对程序输入文件进行预处理的时候得不到剪切模量的数值。所以这时候用户必须使用“*HOURGLASS STIFFNESS”选项来定义具有沙漏模式的单元的沙漏控制刚度，使用“*TRANSVERSE SHEAR STIFFNESS”选项来定义板、壳、梁单元的横向剪切刚度。
所谓的接口程序Interface--FORTRAN的知识
在Fortan语言中,主调程序和被调程序是分别编译的.由于Fortran90对过程的许多功能做了扩充,有些功能单靠简单的调用语句已经无法反应,因而系统也就无法进行正确的编译,这时需要在主调程序中加入interface接口块,通过它为主调程序和被调程序指明一个显示的接口.如果被调用中哑元含有假定形状[assumed-shape]数组,或可选变元,或含键盘输入的参数,就需要interface接口块说明.一般来讲,在Fortran90程序之间需要提供interface块有三种方法:
1.将interface接口块直接写入调用程序,并复制被调用程序的参数列表这种方法简单易用,但也相应增加了维护代码的工作量,因为只要被调用程序的参数列表发生变化,就必须相应改变interface接口块和调用[call]语句.
2.可以将一个软件包中所有程序的interface块写入一个模块中,该模块被软件包中的所有程序使用.这样做的优点是只需一个模块来检查interface定义,缺点是仍需对此模块和调用语句进行维护.
3.Fortran90编译器可在contains语句后自动提供过程之间的interface块,这种interface块可用于使用模块的任何程序.
关于Fortran77的一些有用的简介
Fortran77的基本结构:
1.一个Fortran源程序由一个或者多个程序单位组成,每个独立的程序单位以'end'语句结束
2.每个程序单位包括若干行[不能一行写多条语句,但是可以一个语句写成行];分为语句行[执行语句行和非执行语句]和非语句行[注释行]
源程序的书写格式:
1.不区分大小写:每行只能80列以内,并把80列分为四个区
2.1-5列:标号区[1-5位整数;第一列为'*'或者'C'时,为注释行]
3.第6列,续行标志区[非空格或非0;最多19个续行]
4.7-72列:语句区[书写语句:一行只能写一个语句]
5.73-80列:语句注释区[一般做编号注释]
程序的编辑与运行:
1.创建源程序文件并编写源程序
2.编译并连接源文件
3.运行程序编译生成的可执行文件
六种常量:
1.整型常量[Integer]4位:正\负整数和0
2.实型常量[Real]4位:小数和指数形式
3.双精度常量[Double precision]8位
4.复型常量[Complex]8位
5.逻辑性常量[Logical]4位
6.字符型常量[Character]1位
变量
·变量名
1.第一个字符是字母第一个字符后可跟1-5个字母或者数字
2.不区分大小写
3.空格不起作用
4.允许变量名与语言中具有特定含义的字同名,但尽量不适用
5.尽量"见名知义"
·变量类型
不同的变量类型用来存放不同类型的常量数据.变量相应的也有六种;变量在使用前必须首先对其进行类型说明,三种说明方法:
按优先级别排列
1. 类型说明语句:类型 变量名列表,多个变量名之间用逗号隔开,如
REAL A,B,C
DOUBLE PRECISION X,Y,Z[或者REAL*8 X,Y,Z]
CHARACTER*5 [缺省字符长度5 ] STR1,STR2*8,STR3*19
2. IMPLCIT语句:IMPLICIT 类型[字母表],类型[字母表],....
如: IMPLICIT REAL(A-D),INTERGER(I-M),DOUBLE PRECISION (X,Z)
3. I-N规则:Fortran规定,不加说明的情况下,I-N为整型,其他都为实型
几点说明
类型语句说明位于所有可执行语句的前面;IMPLICIT语句位于最前面;
IMPLICIT NONE取消IMPLICIT说明和I-N规则,所有的变量必须显式说明;只在本程序单位有效.
关于Fortran77的一些有用的简介
算术表达式:
1.运算符: +, -, *, /, **
2.优先级: ( ), ** , *\ / , +\-
3.书写问题
1.* 不能省略
2.括号不分大小写,成对出现
3.多次乘方,按'先右边后左边'处理
4.运算符不能连续出现,要用小括号隔开
5.运算顺序 )---->函数---->**----->*,/----->+,-
6.运算中的类型问题:运算类型相同:结果仍为原类型;不同,则自动转换成同一类型
7.误差问题:
1.溢出:超出有效数字范围-------->解决:很大或者很小的数用实型的指数表示
2.误差:由于有效数字的位数限制,实型数运算存在误差-------->解决:转换成双精度型或者避免因为书写不当造成有效数字的丢失
简单输出\输入语句:
输入\输出三要素:对象[哪些数据];格式;设备.
输出语句
输出语句的分类:格式输出'表控格式输出[系统标准格式];无格式输出[二进制]
1.表控输出语句:按计算机系统规定的格式输出:系统自动为每种类型的数据规定了列数
1.整数的表控输出格式[与具体的计算机系统有关]:规定每个整数占13列,打印在右端,左补空格;
2.实数的表控输出格式:规定每个实数占17列,打印在右端,左补空格,小数部分占7列;[当实数的绝对值>=10**7或<1时,按标准的指数格式输出,共占15列,指数4列,小数6列
2.表控格式输出语句:
1.print*,<输出表列>: print*,56.8,125
2.write(*,*)<输出表列>
输入语句
输入\输出三要素:对象;格式;设备.
分类:同上
1.表控输入语句
1.自由格式输入-->语句:read*,<输入表列>;read(*,*)<输入表列>
2.输入数据以逗号或者空格作为间隔
3.变量名称为输入表
4.输入的数据应和输入表的变量个数\类型\次序严格地一一对应;少了,程序停止,等待继续输入;多了,程序继续进行,多余的不起作用;较多的数据可以几个一组,回车,再输入几个一组,回车...
5.重复数据,可以7*3---->7,7,7
6.每一个read(*,*)和write(*,*)语句从一个新的记录[以回车结束的一批输入\输出数据]开始读数\输出
§例如:read(*,*) A,B,C
§ read(*,*) D,I,J
§输入: 2.3,-63.5[回车]
§ 6.4,91.0[回车]
§ 5,8[回车]
§结果: A=2.3,B=-63.5,C=6.4,
§ [从新记录开始读数]
§ D=5.0,I=8,J未被赋值
PARAMETER语句
作用:将程序中经常用到的参数或字符串定义成一个符号常量,其值不可改变.
语句:parameter(p1=c1,p2=c2,...,pn=cn)
注意:
1.符号常量的命名规则与变量名相同,但在程序中其值不可改变,也不能赋值;
2.符号变量也有类型,可用前面的三种类型说明方法说明类型;
3.参数语句是非执行语句,位于所有可执行语句的前面,单位与类型说明语句的后面;
4.一条语句可以定义多个符号常量;
5.优点:方便修改程序
END,STOP,PAUSE语句
END语句:结束标志,有且仅有一条
PAUSE[n]语句:暂定执行;用于调试程序,n可以是一个字符串或不超过5位的数
STOP[n]语句:停止运行语句;用于调试程序,n可以是一个字符串或不超过5位的数
逻辑运算和选择结构
·关系表达式
1.构成选择判断的基本式子
2.关系运算符:
1..GT.[greater than] >
2..GE.[greater than or equal to] >=
3..LT.[limiter than] <
4..LE.[limiter than or equal to] <=
5..EQ.[equal to] =
6..NE.[not equal to] ≠
3.一般形式:<算术量或者算术表达式><关系运算符><算术量或者算术表达式>
4.运算结果:逻辑值:真[.TRUE.]\假[.FALSE.]
5.运算顺序:算术运算>关系运算
·逻辑表达式
1.运算符:
1..and.
2..or.
3..not.
4..eqv.逻辑等
5..neqv.逻辑不等
2.一般形式:<逻辑变量\逻辑常量\关系表达式><逻辑运算符><逻辑变量\逻辑常量\关系表达式>
3.结果:逻辑值:真[.TRUE.]\假[.FALSE.]
4.运算顺序:算术运算--->关系运算--->逻辑运算
5.逻辑运算优先级:.not.--->.and.--->.or.--->.eqv.--->.neqv.
关于Fortran77的一些有用的简介[4]:
弹性力学\塑性力学\弹塑性力学
弹性力学和塑性力学时固体力学的两个重要分支.
1.固体力学:研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰(载荷\温度\变化等)下的力学响应的科学.按不同的研究对象区分为不同的学科分支.
2.弹性力学:研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为,包括外部干扰下弹性物体的内力[应力\,变形[应变]和位移的很不,以及与之相关的原理\理论和方法.
3.塑性力学:则研究他们在塑性变形阶段的力学响应.
4.弹性和塑性的区别与联系:大多数材料都同时具有弹性和塑性性质,当外载较小时,材料呈现为弹性的或者基本弹性的;当荷载渐渐增加时,材料将进入塑性变形阶段,即材料的行为呈现塑性的.所谓弹性和塑性,只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型;同意种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的.因此,所谓弹性材料或弹性物体是指在一定条件下主要呈现弹性性质的材料或物体.塑性材料或者塑性无私的含义与此相类.
5.弹塑性材料:大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质,特别是在塑性变形阶段,变形中既有可恢复的弹性变形,又有不可恢复的塑性变形;因此有时又称弹塑性材料
6.弹性设计方法:是以弹性分析为基础的结构设计,假定材料为理想弹性地,相应地这种设计观点便以分析结果的实际使用范围作为设计的失效准则,即认为应力[严格地说是应力的某一函数值]达到一定限值[弹性界限],将进入塑性变形阶段时,材料将破坏.
7.塑性设计方法:结构中如果有一处或一部分材料"破坏",则认为结构失效(丧失所规定的效用).由于一般的结构都处于非均匀受力状态。当高应力点或高应力区的材料到达弹性界限时、结构的大部分材料仍处于弹性界限之内;而实际材料在应力超过弹性界限以后并不实际发生破坏，仍具有一定的继续承受应力(载荷)的能力，只不过刚度相对地降低。因此弹性设计方法不能充分发挥材料的潜力，导致材料的某种浪费。实际上，当结构内的局部材料进入塑性变形阶段，在继续增加外载时，结构的达力(应力)分布规律与弹性阶段不同，即所谓内力(应力)重分布;这种重分布总的是使内力(应力)分布更趋均匀，使原来处于低应力区的材料承受更大的应力，从而更好地发挥材料的潜力，提高结构的承载能力。显然，以塑性分析为基础的设计比弹性设计更为优越。但是，塑性设计允许结构有更大的变形，以及完全卸载后结构将存在残余变形。因此，对于刚度要求较高及不允许出现残余变形的场合、这种设计方法不适用。
8.弹塑性力学的研究对象和方法:是研究结构的强度、刚度和稳定性问题(有时统称为强度问题),以及结构的“破坏”准则或失效准则.在方法上是在一定的边界条件(或再加上初始条件)下求解三类基本方程:平衡(运动)方程、几何方程和本构〔物理)方程。以实验结果为依据，所得结果由实验来检验.
说说弹塑性力学----2
力学模型的相关知识
'模型'是'原型'的近似描述或表示。建立模型的原则，一是科学性----能尽可能地近似表示原型;二是实用性----能方便地应用。显然，一种科学(力学)模型的建立，要受到科学技术水平的制约。总的来说，力学模型大致有三个层次:材料构造模塑，材料力学性质模型，以及结构计算模型。第一类模型属于基本的，它们属于科学假设范畴。因此，往往以“假设”的形式出现。'模型'有时还与一种理论相对应;因而在有些情况下，'模型'、'假设'和'理论'可以是等义的。
1.材料构造模型:
1.连续性假设
假定固体材料是连续介质，即组成物体的质点之间不存在
任何空隙，连续紧密地分布于物体所占的整个空间。由此，我们可以认为，一些物理量如应力，应变和位移等可以表示为坐标的连续函数，从而在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，事实上，一切物体都是由微粒组成的，都不可能符合这个假设。但可以想象，当微粒尺寸及各微粒之间的距离远比物体的几何尺寸小时。运用这个假设不会引起显著的误差.
2.均匀及各向同性假设
假设物体由同一类型的均匀材料组成，即物体内各点与各
方向上的物理性质相同(各向同性);物体各部分具有相同的物
理性质.不会随坐标的改变而变化(均匀性)
2.材料力学性质模型
1.均弹性材料
弹性材料是对实际固体材料的一种抽象.它构成一个近似于真实材料的理想模型。弹性材料的特征是:物体在变形过程中，对应于一定的温度，应力与应变之间呈一一对应的关系，它和载荷的持续时间及变形历史无关;卸载后，其变形可以完全恢复。在变形过程中，应力与应变之间呈线性规律，即服从胡克(Hooke R)规律的弹性材料，称为线性弹性材抖;而某些金属和塑料等，其应力与应变之间呈非线性性质，称为非线性弹性材料。材料弹性规律的应用，就成为弹性力学区别于其它固体力学分支学科的本质特征。
2.塑性材料
塑性材料也是固体材料的一种理想模型。塑性材料的特征是:在变形过程中，应力和应变不再具有一一对应的关系，应变的大小与加载的历史有关但与时间无关;卸载过程中，应力与应变之间按材料固有的弹性规律变化，完全卸载后。物体保持一个永久变形，或称残余变形。变形的不可恢复性是塑性材料的基本特征。
3.粘性材料
当材料的力学性质具有时间效应，即材料的力学性质与载荷的待续时间和加载速率相关时，称为粘性材料。实际材料都具有不同程度的枯性性质，只不过有时可以略去不计。
3.结构计算模型
1.小变形假设
假定物体在外部因素作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸。应用这条假设，可使计算模型大为简化。例如，在研究物体的平衡时，可不考虑由于变形所引起的物体尺寸位置的变化;在建立几何方程和物理方程时，可以略去其中的二次及更高次项，使得到的基本方程是线性偏微分方程组。与之相对立的是大变形情况，这时必须考虑几何关系中的二阶或高阶非线性项，导致变形与载荷之间为非线性关系.得到的基本方程是更难求解的非线性偏微分方程组。
2.无初应力假设
假定物体原来是处于一种无应力的自然状态。即在外力作用以前，物体内各点应力均为零。我们的分析计算是从这种状态出发的。
说说弹塑性力学
1.弹塑性材料
固体材料在受力后产生变形，从变形开始到破坏一般要经历弹性变形和塑性变形这两个阶段。根据材料力学性质的不同，有的弹性阶段较明显，而塑性阶段很不明显，象铸铁等脆性材料，往往经历弹性阶段后就破坏。有的则弹性阶段很不明显，从开始变形就伴随着塑性变形，弹塑性变形总是耦联产生，象混凝土材料就是这洋。而大部分固体材料都呈现出明显的弹性变形阶段和塑性变形阶段。今后我们主要是讨论这种有弹性与塑性变形阶段的固体材料，并统称为弹塑性材料。
2.鲍辛格效应
由于预加塑性拉伸荷载而使压缩屈服应力降低的现象称为Bauschinger效应.正是由于这种效应,塑性变形时一种各向异性的过程,Bauschinger效应是一种由塑性应变引起的特殊的方向各向异性的形式,因为在后继逆向荷载作用下,一个方向的初始塑性变形会减小其反方向的屈服一个应力.在多轴应力情况下,与这种现象对应的是具有不同方向屈服应力之间的相互影响和横向效应,某一方向的预加应变达到塑性范围将会改变其所有方向的屈服应力值.因此Bauschinger效应对于多维问题更重要,包括荷载方向有明显改变的复杂应力历史,比如应力改变符号和循环荷载的情况.
3.弹性变形与塑性变形的区别:
1. 卸除载荷后。变形可以完全恢复，是弹性变形的基本特征，而变形的不可恢复性是塑性变形的基本特征。弹性与塑性的基本区别不在于它们的应力一应变关系是否线性，例如，在比例极限与弹性极限之间的AB曲线段,应力与应变不再成比例，进入了非线性阶段，但在B点以前卸除载荷，变形仍将完成恢复，属于弹性变形阶段。因此，弹性和塑性的基本区别在于卸载后，是否保留一个永久变形(塑性应变〕.
2. 在弹性变形阶段，应力与应变之间呈一一对应的关系。而在塑性变形阶段，应力与应变之间不再是单值关系，对应于同一个应力状态，如果加载的历史不同，所又寸应的应变就不同.这并不是说塑性应力和应变状态就不能唯一地确定。为了描述材料在塑性变形阶段的应力一应变关系，我们需要知道:
1. 材料的屈服应力或加载应力。它是用来区别材料是处于弹性阶段还是已进入塑性阶段的特证值。在屈服应力之前，应力一应变服从胡克定律;
2. 加载准则。在材料进入塑性变形阶段后，应力和应变在加载和卸载的情况下服从两个不同的规律，需要有一个判别材料是加载还是卸载的准则，称为加载或卸载准则。在应力等于屈服应力或加载应力时，应力的变化有两种可能、它可写成加载和卸载两种不同的公式形式.
3. 从某个初始状态到现时的全部变形(或加载)历史。对某
现时来说，我们知道了应力增量和应变增量之间的关系如(1. 6)式所示。明确了变形或加载的历史，就可以对增量积分，求得应力全量与应变全量的关系，从而确定该现时材料中的应力和应变。
3. 弹性变形是可逆的，而塑性变形是不可逆的，由于卸载后永久变形的存在，导致在塑性变形中所做的塑性功也是不可逆的.塑性功恒大于零，是耗散功。所以说弹性变形储存能量[变形恢复时释放能量,不耗散能量],而塑性变形耗散能量,耗散大小为滞回环的面积.
4.残余应力
所谓残余应力，就是对一个处干自然状态的结构施加载荷，又完全卸去载荷后，在结构内存在的、自我平衡的应力(没有外载时满足平衡条件的应力)。而残余应变则是载荷完全卸去后，结构仍保留的变形.前面己指出，弹性变形是可逆过程，当加上载荷又卸去之后，结构将回到初始状态、不会存在残余应力和残余变形。由此可见，只有当结构内发生塑性变形(即使是结构的一部分)之后，才可能出现残余应力和残余变形。结构内存在残余应力的必要条件是结构已发生塑性变形，并且已发生的塑性变形不能满足几何连续条件。
应力状态理论
一个在外界因素作用下的物体将产生内力和变形。用以描述物体中任何部位的内力和变形特征的力学量是应力和应变。
1.应力概念
凡提到应力，需指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分
面。因为通过物体内同一点可以作无数个方位不同的微分面。显
然，各微分面上的应力一般是不相同的。
2.张量概念
由三个正应力,六个剪应力组成的九个应力分量定义了一个新的量。它描述了一点处的应力状态。数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量叫二阶张量,应力为二阶张量，它称为柯西(Cauchy A L)应力张量，简称为应力张量。张量中的每一个分量为应力张量在某基矢量的坐标系中的分量，简称为应力分量。应力张量常用矩阵形式表示. 应当指出，物体内各点的应力状态一般是不相同的。应为坐标x的函数，所以，应力张量与给定点的空问位置有关，应力张量总是针对物体中的某一确定点而言的.只要知道了一点的九个应力分量，就可求出通过该点的各个微分面上的应力.应力张量完全确定了一点处的应力状态.
3.转轴时应力分量的变换
坐标系作平移变换时,同一点的各应力分量不会改变;显然，转轴后各应力分量都改变了.但这九个量作为一个“整体”所描述的一点的应力状态是不会改变的，因而又一次证明了应力是二阶张量，在坐标转换时具有不变性。在不计体力偶时应力张量具对称性,为对称张量，其独立的应力分量只有六个。
4.主应力和应力不变量
当坐标系转动时，受力物体内任一确定点的九个应力分量
将随着改变。在坐标系不断转动的过程中，必然能找到一个坐标
系，使得该点在该坐标系中只有正应力分量，而剪应力分量为
零。也就是说，对于任一确定的点，总能找到三个互相垂直的微
分面，其上只有正应力而无剪应力。我们把这祥的微分面称为主
微分平面，简称主平面，其法线方向称为应力主方向，而其上的
应力称为主应力。在应力状态的特征方程中,它的三个根即为主应力,按代数值大小一次成为第一主应力,第二主应力和第三主应力.他们是三个不同截面上的应力矢量的模,而不是某个应力矢量的三个分量.状态特征方程的三个系数分别称为应力张量的第一\第二和第三不变量。其不变的含义是:当坐标系转动时，虽然每个应力分量都随之改变，但这三个量是不变的。更直观地说，因为方程的根代表的是一点的三个主应力，它们的大小与方向在物体的形状及引起内力的因素确定后是完全确定的，即它们是不会随坐标系的改变而改变的。由于应力状态特征方程的根不变，故方程中的系数一定为不变量.以三个主应力为坐标曲线的坐标系称为主坐标系，也称为主向空间一般地说，主坐标系是正交曲线坐标系。
主应力的几个重要性质:
1. 不变性
由于特征方程的系数是不变量，所以作为特征根的主应力及相应的主方向，都是不变量。从物理意义可知，它们
都是物体内部受外部确定因素作用时客观存在的量，与人为选择参考坐标无关。
2. 实数性
由于应力张量为对称张量，其各元素均为实数，故必有实特征根，即三个主应力都是实数。这意味着任何应力状态都存在三个主应力.
3. 正交性
当特征方程无重根时，三个主应力必两两正交;当特征方程有一对重根时,如第一和第二主应力相等,与第三主应力不等,则与第三主应力垂直的平面内任意两个相互垂直的方向均可作为主方向(如双向等拉或等压应力状态);当特征方程出现三重根，任意三个相互正交的方向都可作为主方向。
4. 极值性
在通过同一点的所有微分面的正应力中。最大和最小的正应力是主应力。
5.最大剪应力和八面体应力
弹性理论的适用范围是由材料的屈服条件来确定的。大量实验证明，剪应力对材料进入塑性屈服阶段起决定性作用，例如第三强度理论，又称特雷斯加(Tresca H )屈服条件，是以最大剪应力为材料是否进入塑性屈服阶段的判据;第四强度理论，又称米泽斯(Von Mises R)屈服条件，则与八面体剪应力有关。最大剪应力和八面体剪应力的知识可参考相关书籍.
张量的基本概念及其基本运算
1.物理恒量
任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是不以人们的意志为转移的! 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述.张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的重要数学工具张量分析具有高度概括、形式简洁的特点所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
2.标量概念
在一定单位制下,只需指明其大小即足以被说明的物理量,统称为标量(scalar),例如温度\质量\长度等,在坐标变换时其值保持不变的量.只需一个量就可以确定!
3.矢量概念
在一定单位制下,除指明其大小还应指出其方向的物理量,统称为矢量(vector),例如速度\加速度等.需要三个分量确定!
应变状态理论
1.位移和应变
在外部因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保待各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变;物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。
在连续介质力学中，所有问题(包括运动、应力、应变以及守恒定律等)既可用物体变形前的初始构形B为参照构形(取x1为自变量)来描述，又可用物体变形后的新构形，B'为参照构形(取x1*为自变量)来描
述，前者称为拉格朗日(Lagrange J L)描述，后者称为欧拉(Euler L)描述。
在固体力学中，我们常采用拉格朗日描述;在流体力学中采用欧拉描述更为方便;而对大变形问题及一般的物理定律，采用拉格朗日坐标来建立它的数学表达式更为方便，但在求解具体间题时，又常以欧拉描述更方便，所以两种描述都要采用。
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