静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图

背景介绍

静电学中的一些结论,会涉及到一些复杂函数的使用。有时我们想要进行结果的可视化展示直观感受推导的正确性。这时可以使用Mathematica丰富的绘图支持和数学运算函数支持来完成该任务。

推导

Schwartz-Christoffel变换提供了一个从复数平面静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图1的封闭多边形内部到复数平面静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图2的无穷平行板的映射,正如下图所示。

静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图3


这种类型的一种共形映射可以用来推导平行平板的电势的近似公式(考虑边缘效应)。

静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图4平面上点的电势容易计算出,并且可以通过反变换回到静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图5平面来得到应该的电势。


我们这里使用的共形变换是静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图6

效果大致如下图。

静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图7




静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图8进行改写,

静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图9

其中,如果条件良好满足一些要求,可以确定。


总之,用Lambert W函数的形式来写,就是

静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图10

其中,静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图11静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图12表示向下取整,Im表示取虚部。在点静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图13处的电势是

静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图14

Mathematica绘图

\[Phi][{x_, y_}] :=
With[{z = x + I y},
 Im[z - 1 - ProductLog[Ceiling[(y - Pi)/(2 Pi)], Exp[z - 1]]]]

ContourPlot[\[Phi][{x, y}], {x, -2, 10}, {y, -20, 20},
Epilog -> {Red, Thickness[0.02], Line[{{-2, Pi}, {0, Pi}}],
  Line[{{-2, -Pi}, {0, -Pi}}]}, ContourShading -> False,
Contours -> 20]

静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图的图15

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