COMSOL理论知识一网打尽!

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COMSOL要全面了解某个系统的特性,只有使用微分方程来描述这一系统在不同情况下的特性,并分析方程的解。而解方程就需要熟练使用数学模型,接下来就是派派带大家夯实基础的时间啦。

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基础概念

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1. 梯度

梯度(gradient)是一个矢量,它常用来表示某个物理量的变化快慢程度。

在同一空间或者时间范围内,某个物理量的变化率越大,则说明其梯度越大。

在COMSOL 中,可以在结果中用等值线观察物理量的梯度分布,在等值线分布越密的地方,则代表其梯度越大。

在进行有限元计算时,如果某个部位的梯度远大于其他部位,则需要将该梯度较大的部位使用较小的单元尺寸进行网格剖分,以获得较精度的结果。

比如对非常复杂的几何结构进行结构力学计算时,一般需要先根据理论预测,判断结构中应力梯度较大的部位,如应力集中区域等,从而对其进行局部网格细化。

如果理论预测有困难,可以先进行初步的均匀网格剖分和试算,根据结果找出应力梯度较大的区域,然后重新剖分网格并对这些区域进行局部细化,从而在确保计算精度的基础上,节省计算资源。

2. 散度

散度(divergence)用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度,物理上,散度的意义是场的有源性。

当散度大于零时,表示该点有散发通量的正源(发散源);当散度小于 零时,表示该点有吸收通量的负源(洞或汇);当散度等于零时,表示该点无源。

由散度的定义可知,散度表示在某点处的单位体积内散发出来的矢量的通量,所以散度描述了通量源的密度。

举例来说,假设将太空中各个点的热辐射强度向量看作一个向量场,那么某个热辐射源(比如太阳)周边的热辐射强度向量都指向外,说明太阳是不断产生新的热辐射的源头,其散度大于零。

3. 旋度

旋度是矢量分析中的一个矢量算子,可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。

这个矢量提供了矢量场在这一点的旋转性质。旋度矢量的方向表示矢量场在这一点附近旋转度最大的环量的旋转轴,它和矢量旋转的方向满足右手定则。

旋度矢量的大小则是绕着这个旋转轴旋转的环量与旋转路径围成的面元的面积之比。

在COMSOL 中,关于散度和旋度的直接应用较少,而是直接设置相关的边界条件。

4. 通量

通量是指单位时间内,流经某单位面积的某属性量,是表示某属性量输送强度的物理量,如动量通量、热通量、物质通量和流量通量等。

在传热和流体等物理场中,经常需要设置热通量或者流量通量的边界条件。

5. 绝对误差

测量值与真实值之差的绝对值,绝对误差只反映计量值与实际值的差别。某个物理量的绝对误差,与该物理量具有相同的量纲。

6. 相对误差

绝对误差与真实值的比值, 相对误差以百分比表示,数值越小表示计量的精度越高。与绝对误差不同,相对误差的量纲永远为1。

在COMSOL 中,在几何与求解阶段都要考虑误差。

在几何建模阶段,根据实际情况,可以指定结构修复的相对误差或绝对误差。

而在求解阶段,一般需要指定的是相对误差,即相对容差。

7. 数值稳定性

稳定性是指算法对于计算过程中的误差(舍入误差、截断误差等)不敏感。

数值稳定时,在计算过程中随着计算的进行,相对误差会逐渐减小,直到小于设定的相对容差,即得到原问题的精确解。

数值不稳定时,在计算过程中相对误差反而会逐渐增大,或者出现上下波动,从而很难达到或者达不到设定的相对容差,最终很难得到或者无法得到问题的精确解。

在COMSOL 中进行计算时,可以通过收敛图对数值稳定性进行监测。

8. 病态问题

是指当输入数据(如参数、初始值等)有微小的波动时,会引起解的大的扰动。

由于计算工具总会存在舍入误差,因而对于病态问题,用任何算法求数值解都是不稳定的。可见,病态问题是数学模型自身的问题,与算法没有关系,病态问题的病态越严重,对数值计算稳定性的影响就越大。

病态问题会将问题的误差放大,当在计算过程中出现病态问题时,一般意味着边界条件或者求解器的设置出现了错误,需要进行检查。

在COMSOL 中使用有限元方法对问题进行求解时,其本质是使用数值方法求解矩阵方程。在数值方法中,求解矩阵的方法有直接法和迭代法。

直接法适用于小规模矩阵,它通过对矩阵求逆的方法来求解矩阵;迭代法以高斯消元法为基础,它适用于求解大规模矩阵。

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物理定律

在许多情况下,我们可以使用矢量场(或张量)的散度来表达守恒定律;例如,由一个矢量的通量来表达,该矢量可根据本构关系给出。矢量的散度 J 用下式表示:

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从以上方程可以看出,散度是矢量场在不同方向上的变化量之和。如果一个物理量的通量守恒,则所有方向上的变化量之和为零,因此以下方程中的 F 为零:

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 此方程是高斯用直观的方法推导出来的。他计算出包围一个体积的表面上的通量总和,并将其与源或汇的体积和(F)进行平衡,然后使体积趋近于零就能得到微分方程。这一推导称为高斯定理 或散度定理。

我们假设矢量 J 表示电流密度。如果电流密度矢量的散度为零,则建模域中每个点的电流密度在一个方向的变化可以由其在其他方向的变化完全平衡,因此每个点的电荷都是守恒的。

矢量的旋度描述三维矢量场的旋转。它可以推导为矢量场在域中每个点的环量面密度:

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例如,域中每个点的流体涡量由速度矢量的旋度给出。如果我们分析流体域(具有涡量不为零的流动)中一个非常小的控制体积,则旋度可以给出旋转轴的方向以及该控制体积的旋转大小。对于无旋流,速度场的旋度为零。

 通量矢量的旋度也用于麦克斯韦方程组。比如,旋度可以用来描述法拉第感应定律,其中,磁通密度随时间变化产生的电场的旋度可以用下式表示:

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梯度运算符是本节的最后一个数学概念,常用于表示本构关系;例如,用于傅里叶热传导定律、电流传导的欧姆定律以及菲克扩散定律。

梯度是一个矢量,例如,其分量可以给出标量场在不同方向上的斜率:

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反过来,斜率又可以给出上述本构关系中的通量。举例来说,傅里叶热传导定律给出的热通量的方向和大小与温度梯度成正比,其中导热系数用作比例常数:

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根据欧姆定律和菲克第一扩散定律之间的类比,我们可以分别得到电流密度为静态电磁场电势 Φ 梯度的负值,其中电导率为比例因子;化学物质通量为浓度 c 的负梯度;扩散系数为比例因子:

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观察工程和科学领域用于描述物理系统的方程可以看出,这些定律都表示为偏微分方程。通过将定律的定义与一系列描述相关物理系统中所涉及现象的本构关系相结合,就可以定义数学模型。


本文来自:COMSOL仿真交流

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