径向基函数内核 – 机器学习

Radial Basis Function Kernel - Machine Learning - GeeksforGeeks

径向基函数内核 – 机器学习

内核在将数据转换为更高维空间方面发挥着重要作用，使算法能够学习复杂的模式和关系。在众多的内核函数中，径向基函数（RBF）内核作为一种多功能且强大的工具脱颖而出。在本文中，我们深入探讨了RBF内核的复杂性，探讨了它的数学公式、直观理解、实际应用及其在各种机器学习算法中的重要性。

目录

• 什么是 Kernel Function？

• 径向基函数内核

• 将线性算法转换为无限维非线性分类器和回归器

• 为什么 Radial Basis Kernel 如此强大？

o 使用RBF Kernel轻松拟合一些复杂数据集：

• 用于XOR分类的径向基函数神经网络

• 径向基函数核的实际应用

• 什么是Kernel Function？

核函数用于将n维输入转换为m维输入，其中m远高于n，然后有效地找到更高维的点积。使用内核的主要思想是：高维的线性分类器或回归曲线在低维变成非线性分类器或回归曲线。

• 径向基函数内核

径向基函数 （RBF） 内核，也称为高斯内核，是使用最广泛的内核函数之一。它的工作原理是根据数据点在输入空间中的欧几里得距离来测量数据点之间的相似性。从数学上讲，两个数据点之间的 RBF 内核x和x’定义为：

注意：exp(x)等于 e^x

• ∣x–x'∣2表示两个数据点之间的平方欧几里得距离。

• σ是一个称为 bandwidth 或 width of the kernel 的参数，用于控制决策边界的平滑度。

如果我们展开上述指数表达式，它将上升到x和x'的无限次方，作为ex包含无限项到x的无限幂，因此它涉及无限维度中到无限幂的项。

• 将线性算法转换为无限维非线性分类器和回归器

如果我们在RBF内核上应用任何算法，如感知器算法或线性回归，实际上我们会将我们的算法应用于我们创建的新无限维数据点。因此，它将给出一个无限维的超平面，在返回到我们的原始维度后，这将给出一个非常强的非线性分类器或回归曲线。

因此，尽管我们应用了线性分类器/回归，但它会给出一个非线性分类器或回归线，这将是一个无限幂的多项式。作为无限幂的多项式，径向基核是一个非常强大的核，它可以给出适合任何复杂数据集的曲线。

• 为什么Radial Basis Kernel如此强大？

内核的主要动机是在d > 1的任何d维空间中进行计算，以便我们可以为我们的分类/回归线获得二次、三次或任何大次多项式方程。由于Radial基内核使用指数，并且正如我们所知，它的扩展ex给出一个无限幂的多项式方程，因此使用这个内核，我们使回归/分类线也变得无限强大。

• 使用RBF Kernel轻松拟合一些复杂数据集：

RBF内核根据数据点在输入空间中的距离计算数据点之间的相似性分数。它将高相似度值分配给彼此靠近的点，将较低的值分配给相距较远的点。参数σ确定将点视为相似的距离比例。

从视觉上看，RBF内核在每个数据点周围创建一个“凸起”或“山丘”，随着与该点的距离增加，凸起的高度呈指数衰减。这种行为捕获了数据的局部结构，使RBF内核在捕获非线性关系方面特别有效。

• 用于XOR分类的径向基函数神经网络

1. RBFNN 类：

• RBFNN类使用参数sigma进行初始化，该参数表示高斯径向基函数的宽度。

• 它包含计算高斯激活函数和使模型拟合数据的方法。

• 拟合方法通过计算输入数据点的激活并使用Moore-Penrose伪逆求解权重来训练RBFNN模型。

• predict方法使用经过训练的模型预测新输入数据点的输出。

1. 示例用法：

• XOR数据集（X）由四个数据点组成，每个数据点有两个特征。

• 相应的标签（y）表示每个数据点的XOR函数输出。

• 使用指定的sigma值创建RBFNN实例。

• 该模型在XOR数据集上使用fit方法进行训练。

• 使用predict方法对同一数据集进行预测。

• 计算预测输出和实际输出之间的均方误差（MSE）。

• 最后，绘制结果，显示根据其值着色的预测输出，从而提供RBFNN对XOR数据集的预测的可视化。

输出：

在 XOR运算上应用 RBF

• 径向基函数核的实际应用

RBF内核的多功能性和有效性使其适用于各种机器学习任务，包括：

• 支持向量机（SVM）：在SVM中，RBF内核通常用于将数据点映射到更高维的空间，在该空间中可以构建线性决策边界以分隔类。

• 核化岭回归：在回归任务中，RBF核可用于执行核化岭回归，从而允许模型捕获特征和目标变量之间的非线性关系。

• 聚类：RBF内核还可以用于内核化聚类算法，例如频谱聚类，它有助于捕获数据的局部结构，以便将相似的数据点分组在一起。

• 降维：在流形学习和非线性降维技术中，如t分布式随机邻域嵌入（t-SNE），RBF内核用于定义高维空间中数据点之间的相似性。

python案例代码