什么是径向基函数神经网络？

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2024年11月9日 08:26

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径向基函数（RBF）神经网络是一种特殊类型的人工神经网络（ANN），主要用于函数逼近任务。RBF Networks 以其独特的三层架构和通用逼近功能而闻名，在分类和回归问题中提供更快的学习速度和高效的性能。本文深入探讨了 RBF 神经网络的工作原理、架构和应用。

什么是径向基函数？

径向基函数（RBF）是一类特殊的前馈神经网络，由三层组成：

Input Layer（输入层）：接收输入数据并将其传递到隐藏层。
隐藏层：RBF 神经元处理数据的核心计算层。
Output Layer：生成网络的预测，适用于分类或回归任务。
RBF 网络如何运作？

RBF 网络在概念上类似于 K 最近邻（k-NN）模型，尽管它们的实现方式不同。基本思想是，项目的预测目标值受附近具有相似预测变量值的项目的影响。以下是 RBF Networks 的运作方式：

Input Vector：网络接收需要分类或回归的 n 维输入向量。
RBF 神经元：隐藏层中的每个神经元都代表训练集中的原型向量。该网络计算输入向量和每个神经元中心之间的欧几里得距离。
激活函数：使用径向基函数（通常是高斯函数）转换欧几里得距离，以计算神经元的激活值。该值随着距离的增加而呈指数级减小。
Output Nodes （输出节点）：每个输出节点都根据所有 RBF 神经元的激活值的加权总和计算分数。对于分类，将选择得分最高的类别。
RBF 的主要特征

径向基函数：这些是仅取决于与中心点的距离的实值函数。Gaussian 函数是最常用的类型。
维度：网络的维度对应于预测变量的数量。
中心和半径：每个 RBF 神经元都有一个中心和一个半径（散布）。半径会影响每个神经元对输入空间的影响范围。

RBF 网络架构

RBF 网络的架构通常由三层组成：

输入层

功能：输入层收到输入特征后，直接发送到隐藏层。
组件：它由与输入数据中的特征相同数量的神经元组成。输入向量的一个特征对应于输入层中的每个神经元。

隐藏层

功能：该层使用径向基函数（RBF）对输入数据进行非线性转换。
组件：埋藏层中的神经元将 RBF 应用于传入数据。Gaussian 函数是最常用的 RBF。
RBF 神经元：隐藏层中的每个神经元都有一个扩展参数（σ）和一个中心，也称为原型向量。spread 参数调节 RBF 神经元中心与输入向量之间的距离，进而确定神经元的输出。

输出层

功能：输出层使用加权和来整合隐藏层神经元的输出，以创建网络的最终输出。
组件：它由神经元组成，这些神经元以线性方式组合隐藏层的输出。为了减少网络预测与实际目标值之间的误差，这些组合的权重在训练期间会发生变化。

什么是径向基函数神经网络？的图1 编辑

径向基函数神经网络的训练过程

RBF 神经网络必须分三个阶段进行训练：选择中心、弄清楚传播参数和训练输出权重。

第 1 步：选择中心

中心选择技术：中心可以从训练数据集中随机选择，也可以通过应用 k-means 聚类等技术来选择。
K-Means 聚类：在这种广泛使用的中心选择技术中，这些聚类的中心被用作 RBF 神经元的中心，该技术将输入数据分组为 k 组。

第 2 步：确定 Spread 参数

spread 参数（σ） 控制每个 RBF 神经元的作用区域并确定 RBF 的宽度。
计算：可以为每个神经元手动调整 spread 参数，也可以将其设置为所有神经元的常数。根据 center 之间的间隔设置 σ 是一种流行的方法，通常借助启发式方法来实现，例如将慢跑之间的最大距离除以 center 数量两倍的平方根

第 3 步：训练输出权重

线性回归： 线性回归技术通常用于估计输出层权重，其目标是最小化预期输出与实际目标值之间的误差。
伪逆法：计算权重的一种流行技术是利用隐藏层输出矩阵的伪逆

以下是使用 NumPy 的 Python 代码实现示例：

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import cdist

# Generate sample data
np.random.seed(0)
X = np.random.rand(100, 2)
y = np.sin(X[:, 0]) + np.cos(X[:, 1])

# Define the radial basis function
def rbf(x, c, s):
    return np.exp(-np.linalg.norm(x-c)**2 / (2 * s**2))

# Choose centers using k-means
from sklearn.cluster import KMeans
kmeans = KMeans(n_clusters=10).fit(X)
centers = kmeans.cluster_centers_

# Calculate the spread parameter
d_max = np.max(cdist(centers, centers, 'euclidean'))
sigma = d_max / np.sqrt(2 * len(centers))

# Compute the RBF layer output
R = np.zeros((X.shape[0], len(centers)))
for i in range(X.shape[0]):
    for j in range(len(centers)):
        R[i, j] = rbf(X[i], centers[j], sigma)

# Compute the output weights
W = np.dot(np.linalg.pinv(R), y)

# Define the RBF network prediction function
def rbf_network(X, centers, sigma, W):
    R = np.zeros((X.shape[0], len(centers)))
    for i in range(X.shape[0]):
        for j in range(len(centers)):
            R[i, j] = rbf(X[i], centers[j], sigma)
    return np.dot(R, W)

# Make predictions
y_pred = rbf_network(X, centers, sigma, W)

# Evaluate the model
from sklearn.metrics import mean_squared_error
mse = mean_squared_error(y, y_pred)
print(f"Mean Squared Error: {mse}")

输出：

Mean Squared Error: 0.016605403732061076

RBF 网络的优势
通用近似：RBF 网络可以在给定足够神经元的情况下以任意精度逼近任何连续函数。
更快的学习速度：与其他神经网络架构相比，训练过程通常更快。
简单的架构：简单的三层架构使 RBF Networks 更易于实施和理解。
RBF 网络的应用

分类：RBF 网络用于模式识别和分类任务，例如语音识别和图像分类。
回归：这些网络可以为预测任务对数据中的复杂关系进行建模。
函数逼近：RBF 网络在逼近非线性函数方面很有效。

RBF 网络示例

考虑一个数据集，其中包含来自两个类的二维数据点。用 20 个神经元训练的 RBF 网络将使每个神经元代表输入空间中的一个原型。该网络计算类别分数，可以使用 3-D 网格或等值线图进行可视化。正权重分配给属于同一类别的神经元，负权重分配给来自不同类别的神经元。可以通过评估网格上的分数来绘制决策边界。

结论

具有径向基函数的神经网络是许多不同机器学习应用的有效工具。由于其三层架构，它们可以有效地仿真复杂的非线互，该架构由输入层、具有径向基函数的隐藏层和线性输出层组成。选择正确的中心、弄清楚分布参数和训练输出权重是训练过程中的步骤。RBF 网络为各种实际问题提供了灵活可靠的解决方案。它们在函数逼近、模式识别、时间序列预测和控制系统中特别有用。