协方差和相关性

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2025年2月15日 22:10

协方差和相关性是统计学中的两个关键概念，可帮助我们分析两个变量之间的关系。 协方差衡量两个变量如何一起变化，指示它们是沿相同方向还是相反方向移动。

在本文中，我们将了解协方差和相关性之间的区别和相似之处，探索它们的应用，并提供示例来说明它们的用途。

什么是协方差？

协方差是一种统计度量，用于指示两个变量之间线性关系的方向。它评估两个变量与平均值一起变化的程度。

协方差的类型：

正协方差：当一个变量增加时，另一个变量也趋于增加，反之亦然。
负协方差：当一个变量增加时，另一个变量趋于减少。
零协方差：两个变量之间没有线性关系;它们彼此独立移动。

协方差的计算方法是取每个变量的偏差与其各自均值的乘积的平均值。它对于理解关系的方向很有用，但对于理解其强度很有用，因为它的大小取决于变量的单位。

它是了解变量如何一起变化的重要工具，并广泛用于各个领域，包括金融、经济学和科学。

协方差：

它是一对随机变量之间的关系，其中一个变量的变化会导致另一个变量的变化。
它可以取 – infinity 到 +infinity 之间的任何值，其中负值表示负关系，而正值表示正关系。
它用于变量之间的线性关系。
它给出了变量之间关系的方向。

协方差公式

对于人口：

协方差公式

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对于示例：

协方差

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其中，x' 和 y' = 给定样本集的平均值 n = 样本总数习和 yi = 样本集的单个样本

例–

协方差和相关性

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什么是相关性？

相关性是两个变量之间线性关系的强度和方向的标准化度量。它由协方差派生，范围介于 -1 和 1 之间。与仅指示关系方向的协方差不同，相关性提供了一种标准化的度量。

正相关（接近 +1）：随着一个变量的增加，另一个变量也趋于增加。
负相关（接近 -1）：随着一个变量的增加，另一个变量趋于减少。
零相关性：变量之间没有线性关系。

变量 X 和 Y 的相关系数 ρ\rhoρ （rho）定义为：

它显示变量对是否相互关联以及关联程度。
相关性采用 -1 到 +1 之间的值，其中接近 +1 的值表示强正相关，接近 -1 的值表示强负相关。
在这个变量中彼此间接相关。
它给出了变量之间关系的方向和强度。

关联公式

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其中，x' 和 y' = 给定样本集的平均值 n = 样本总数习和 yi = 样本集的单个样本

例–

协方差和相关性

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协方差和相关性之间的区别

下表显示了 Covariance 和 Covariance 之间的区别：

协方差	相关
协方差是衡量两个随机变量一起变化的程度的指标	相关性是一种统计度量，用于指示两个变量的关联强度。
涉及两个变量或数据集之间的关系	还涉及多个变量之间的关系
位于 -infinity 和 +infinity 之间	介于 -1 和 +1 之间
相关性度量	协方差的缩放版本
提供关系方向	提供关系的方向和强度
取决于变量的尺度	与变量的规模无关
具有维度	无量纲

协方差和相关性的应用

协方差的应用

金融投资组合管理：协方差用于衡量不同股票或金融资产如何一起移动，有助于投资组合多元化以最大限度地降低风险。
遗传学：在遗传学中，协方差可以帮助理解不同遗传性状之间的关系以及它们如何一起变化。
计量经济学：协方差用于研究不同经济指标之间的关系，例如 GDP 增长与通货膨胀率之间的关系。
信号处理：协方差用于分析和过滤各种形式的信号，包括音频和图像信号。
环境科学：协方差用于研究环境变量之间的关系，例如温度和湿度随时间的变化。

结论

协方差和相关性是重要的统计工具，可用于深入了解变量之间的关系。协方差帮助我们理解两个变量之间线性关系的方向，表明它们是一起增加还是减少。另一方面，相关性通过考虑变量的标准差来标准化协方差，提供范围从 -1 到 1 的无量纲度量。这使得关联更适合于比较各个域之间关系的强度和方向。 这两个指标在金融、遗传学、计量经济学、医学研究和机器学习等领域都非常宝贵，可以帮助研究人员和分析师发现模式并做出明智的决策。