单元刚度矩阵

由（27a）式定义的单元刚度矩阵，由于应变B对于3结点三角形单元是常量阵，因此有

　

　

代入弹性矩阵D和应变矩阵B后，它的任一分块矩阵可表示成

　

　

　

　

　

　

　

　

　

由(34)式立即可以得到

由此可见单元刚度矩阵是对称矩阵。

为了进一步理解单元刚度矩阵的物理意义，我们同样可以利用最小位能原理建立一

个单元的平衡，这就得到

　

P^e是单元结点载荷，当然应当包括其它相邻单元对该单元的作用力。现把a^e、P^e顺序表示为

　

　

　

　

　

　

　

　

这是单元结点平衡方程，每个结点在x和y方向上各有一个平衡方程，3个结点共有六个平衡方程。方程左端是通过单元结点位移表示的单元结点内力，方程右端是单元结点外载。

令a₁=1(u_i=1),a₂=a₃=…＝a₆=0

由（38）式可以得到

　

　

　

（39）式表明，单元刚度矩阵第一列元素的物理意义是：a₁＝1。其他结点位移都为零时，需要在单元各结点位移方向上施加结点力的大小。当然，单元在这些结点力作用下处于平衡，因此在x和y 方向上结点力之和为零：

　

对于单元刚度矩阵中其他列的元素也可用同样的方法得到它们的物理解释。因此单元刚度矩阵中任一元素K_ij物理意义为：当单元的第j个结点位移为单位位移而其他结点位移为零时，需在单元第j个结点位移方向上施加的结点力的大小。单元刚性大，则使结点产生单位位移所需施加的结点力就大。因此单元刚度矩阵中的每个元素反映了单元刚性的大小，称为刚度系数。对于单元刚度矩阵的每一列(行)元素应有

　

　

单元刚度矩阵的特性可归纳如下:

(1)对称性

已由(36)式证明

(2)奇异性

单元刚度矩阵K^e是奇异的，它不存在逆矩阵。K^e的秩是3。

单元刚度矩阵奇异的物理解释是：单元处于平衡时，结点力相互不是独立的，它们必须满足三个平衡方程(两个方向力的平衡，和绕任一点力矩的平衡)，因此它们是线性相关的。另一方面，即使给定满足平衡的单元结点P^e，也不能确定单元结点位移a^e，因为单元还可以有任意的刚体位移(对于平面问题，这种刚体位移是两个方向的移动和一个面内的转动)。

(3)主元恒正

K_ij>0 (41)

K_II恒正的物理意义是要使结点位移a_i=1，施加在a_i方向的结点力必须与位移a_i同向。