泰伯效应（Talbot effect，光栅自成像）用于测量透镜焦距

大家周末好，来首好听的音乐放松下。

之前在文章资源方法| 光学透镜焦距的测量中说了一些透镜焦距的测量方法，同时也提到用泰伯自成像（Talbot Autoimages）进行透镜焦距的测量。

今天，在这里再展开说一下，说明测量透镜焦距之前首先介绍下泰伯效应（Talbot effect）。

图1. 光线通过周期结构，图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Talbot_effect

简单说，泰伯效应就是一个波长为   的平面波照射在周期结构（光栅）,在特定的位置处会形成周期结构（光栅）本身的像，而这些特殊位置处就在   ,其中   为光栅的周期，   为整数。

以上的结果利用菲涅尔衍射就可以得到，傅里叶光学一书中就用泰伯效应作为菲涅尔衍射的一个示例讲解。这里说一下比较简单且物理比较清晰的理解方式，可见北京大学光学课程的讲义  。这里用衍射角谱来理解，考虑符合光栅方程衍射级次的角谱。

图2. 理解光栅自成像，  代表某非零级的传播方向

一个平面上的光场可以看成不同传播方向平面波的叠加。根据角谱理论，传播过程中振幅不变，只是发生一些相移。那么，是否只要保证光栅后侧传播方向上某平面的相位同起始平面相同（不是严格相同，同等的相位关系，  的整数倍也可），此处将会出现光栅的自成像。

结合图2，只考虑一维衍射情况。比较熟悉的平面波表述形式为  。令0级平面波在  平面处的相位为  在  处的相位为  ；非零级平面波在  平面处的相位为   平面 的相位为  。

结合图2，利用平面光场的基本表述形式，容易得到0级与非零级平面波由  平面传播到  平面的相位变化差之差，

上文已经说到，光栅后的光场就是一系列衍射平面波的叠加，或者说这些平面波的干涉叠加，那么保证它们传播的某处的相位关系同起始相同便会出现光栅的“再现 像”。令equ.1等于   即可，得到 

 再利用光栅方程，以及傍轴近似可以得到泰伯长度（Tablot length）   。这里的   为衍射级，一般可以不写（不写就相当于取1，取1就已经代表了出现再现的最大周期，同时满足其它取值）。

接下来就说一下如何利用泰伯效应来测量焦距。

图3. 测量焦距的基本装置

测量的基本方案如上图  ，利用准直光照射的待测透镜再经过光栅，该光栅的自成像同后边的光栅叠加便会形成莫尔条纹（两个线栅叠加会产生周期条纹，且条纹的周期随两光栅相对夹角而变化）。通过测量莫尔条纹的信息（倾斜角或条纹间距……）便可得到待测透镜的焦距。

如果两个光栅g1,g2的下周起相同，以上实验装置产生的莫尔条纹间距  。这样测得莫尔条纹间距便可得到待测透镜焦距  。

参考

[1]北京大学基础医学院，多元多维结构衍射与分形光学http://jpk.pku.edu.cn/course/gx/script/chapter5.pdf

[2]Nakano, Yoshiaki; Murata, Kazumi. (1985). Talbot interferometry for measuring the focal length of a lens. ao/24/19/ao-24-19-3162.pdf, 24(19), 3162–0. doi:10.1364/AO.24.003162