ANSYS 官方验证案例 01

圆孔平板的应力，为什么越算越高？

从 Shigley 应力集中系数，到 MATLAB 验证与 ANSYS 自适应网格收敛

先看结论 同一模型的孔壁最大 X 向正应力，从粗网格的 292.36 Pa 上升到 314.81 Pa。这不是求解器“不稳定”，而是粗网格低估了孔边峰值；最终值与 Shigley 参考值 312.5 Pa 的误差仅为 0.74%。

图1 官方案例的物理模型与主要参数（示意图重新绘制）

一、问题从哪里来：孔会改变应力的传递路径

材料力学中的拉伸公式 σ = F/A，隐含了一个重要前提：构件截面规则，应力能够较均匀地通过截面传递。真实机械零件却经常包含轴肩、键槽、螺纹、油槽和孔等几何不连续。

Shigley 将这些几何不连续称为应力升高源。它们迫使载荷绕开缺口或孔洞，使附近的应力线变密，局部应力不再服从简单的均匀分布。最大局部应力与名义应力之间用理论应力集中系数表示：

Kₜ = σₘₐₓ / σ₀

这里最容易犯错的不是有限元按钮，而是 σ₀ 的定义。不同手册可能采用毛截面应力，也可能采用净截面应力。如果参考曲线使用净截面，而计算时却代入毛截面应力，即使模型完全正确，也会得到错误的比较结论。

二、官方案例要求验证什么

ANSYS Workbench Verification Manual 2024 R1 中的 VM-WB-MECH-002，是一个线性静力三维实体案例：矩形板左端固定，右端施加拉伸压力，要求提取圆孔圆柱面上的最大 X 向正应力。

类别	参数	数值
几何	长度 L	15 m
几何	宽度 w	5 m
几何	厚度 t	1 m
几何	孔半径 a / 孔径 d	0.5 m / 1 m
材料	弹性模量 E	1000 Pa
材料	泊松比 ν	0
载荷	拉伸压力绝对值 |p|	100 Pa

 

结果口径 必须使用 Normal Stress，并选择 Global X 方向；作用域限定为孔的圆柱面；读取 Maximum。Equivalent Stress 与本案例参考值不是同一个物理量。

三、为什么参考答案不是 300 Pa

1. 先计算载荷与净截面名义应力

右端受压面积为 w×t，因此压力等效为总拉力：

F = |p|wt = 100 × 5 × 1 = 500 N

圆孔削弱后的最小净截面积为：

Aₙₑₜ = (w − d)t = (5 − 1) × 1 = 4 m²

Shigley 圆孔板曲线采用净截面名义应力，因此：

σ₀,ₙₑₜ = F / Aₙₑₜ = 500 / 4 = 125 Pa

2. 再读取有限宽板应力集中系数

本案例的孔径与板宽之比为 d/w = 1/5 = 0.2。由 Shigley 的中心圆孔有限宽板曲线可读得 Kₜ≈2.5。于是：

σₘₐₓ = Kₜσ₀,ₙₑₜ ≈ 2.5 × 125 = 312.5 Pa

这就是 Verification Manual 给出的目标值。它同时包含两个关键信息：板是有限宽的；应力集中系数以净截面名义应力为基准。

3. Kirsch 的 300 Pa 为什么也没有错

经典 Kirsch 解研究的是无限大薄板中心圆孔，在远处承受单向均匀拉应力 S。孔壁 r=a 上满足自由边界条件 σᵣᵣ=0、τᵣθ=0，环向应力为：

σθθ(a,θ) = S[1 − 2cos(2θ)]

在 θ=90° 和 270° 处，σθθ=3S。如果把远场应力取为 100 Pa，就得到 300 Pa。它正确描述了峰值位置和无限板极限，但本案例的 d/w=0.2，并不是无限宽板，所以不能用 300 Pa 代替官方有限宽板目标值。

一句话区分 Kirsch 的 300 Pa 是无限板解析基线；Shigley 的 312.5 Pa 是有限宽板工程参考值；二者假设与名义应力口径不同。

四、MATLAB验证：不是替代ANSYS，而是检查物理口径

MATLAB部分分为两层。第一层用 Kirsch 公式绘制孔周应力随角度的变化，检查峰值是否出现在孔的上下缘；第二层按 Shigley 的有限宽板口径计算 312.5 Pa，并与 ANSYS 的最终最大 X 向正应力比较。

下面的伪代码可以直接作为程序结构。它不会冒充一个完整二维有限元求解器，而是承担独立理论复核的角色。

输入：w, d, t, p, E, ν，ANSYS最大应力

计算总拉力：F = |p| × w × t

计算毛截面应力：σ_gross = F / (w × t)

计算净截面应力：σ_net = F / [(w − d) × t]

生成孔周角度：θ = 0°…360°

Kirsch孔壁环向应力：σ_θ = σ_gross[1 − 2cos(2θ)]

转换为全局X应力：σ_x = σ_θ × sin²θ

读取Shigley曲线：d/w = 0.2 → Kt_net ≈ 2.5

有限宽板参考值：σ_ref = Kt_net × σ_net

计算ANSYS相对误差，输出曲线、柱状图和结果表

图2 MATLAB整理的三种比较口径：无限板、有限宽板与ANSYS结果

五、ANSYS里的收敛历史是怎么产生的

这条曲线不是 Newton-Raphson 力残差曲线，而是自适应网格收敛历史。每个点都代表：生成一套网格、完整求解一次、再读取一次孔壁最大 X 向正应力。

官方案例在孔圆柱面预先设置 Refinement=1；在 Normal Stress X 结果下插入 Convergence，允许变化为10%；Solution中的 Max Refinement Loops 设置为2。因此归档记录了“初始网格＋两次自适应细化”，一共三个求解点。

图3 初始网格与两次自适应细化后的最大应力变化

求解点	最大σx / Pa	变化 / %	节点	单元
初始网格	292.36	—	5,025	3,053
第1次细化	313.77	7.0662	25,869	17,427
第2次细化	314.81	0.33054	65,443	45,191

 

ANSYS在每次求解后，利用 Zienkiewicz-Zhu（ZZ）型误差指标识别应力误差较大的单元，并优先细化孔边及其过渡区域。这是一种 h 自适应方法：不提高单元阶次，而是用更多、更小的单元替换局部粗单元。

表中的“变化(%)”由相邻两次结果的对称相对变化计算。用显示值近似表示为：

Changeᵢ = 2|Sᵢ − Sᵢ₋₁| / (|Sᵢ| + |Sᵢ₋₁|) × 100%

最后两次结果仅相差约0.33%，说明继续加密对目标量的影响已经很小。要注意：网格收敛只说明结果对离散尺度不再敏感，并不自动证明材料、边界条件和结果提取口径一定正确。

六、最终结果：既要看云图，也要看验收量

图4 直接读取官方工程结果文件得到的 Global X Normal Stress 场

孔的上下缘出现最大拉应力，位置与 Kirsch 理论一致；孔的左右侧则出现较低甚至压应力区域。云图首先回答“空间分布是否合理”，最大值表格再回答“指定验收量是否通过”。

比较对象	最大σx / Pa	与参考值的关系
Kirsch无限板	300.000	仅作无限板基线
Shigley/官方目标	312.500	验收参考值
ANSYS Mechanical	314.812	相对误差0.740%

 

Error = |314.812 − 312.5| / 312.5 × 100% = 0.740%

验证结论 最终网格变化0.33%，说明结果已基本网格稳定；相对Shigley有限宽板参考值误差0.74%，说明官方有限元模型通过该验收量验证。

七、复现这个案例时，最容易踩的五个坑

1. 把等效应力拿来比较：官方目标是孔壁 Global X Normal Stress 的最大值，不是 von Mises 应力。

2. 忽略名义应力定义：Shigley曲线以净截面应力为基准；直接使用100 Pa会把Kt的口径混乱。

3. 把Kirsch的300 Pa当作官方答案：Kirsch假定无限宽板，而该模型 d/w=0.2，有限宽度效应不可忽略。

4. 只看最后一张云图：至少保留节点数、单元数、相邻结果变化和参考值误差，才能形成验证证据链。

5. 把网格收敛等同于求解器收敛：图中的三个点是三套网格的完整解，不是单次线性方程求解内部的残差迭代。

八、这个案例真正想教会我们的是什么

圆孔板并不复杂，但它把有限元验证的基本逻辑串在了一起：先明确物理量，再统一理论口径；先用理论判断结果应该出现在哪里，再用网格收敛判断数值是否稳定；最后才把有限元结果与独立参考值比较。

完整验证链 工程问题 → 名义应力与参考公式 → MATLAB独立复核 → ANSYS建模 → 自适应网格收敛 → 结果口径核对 → 误差解释。

如果只记住“孔边要加密”，学生仍然只是学会了一个操作技巧。只有理解为什么目标值是312.5 Pa、为什么粗网格会低估应力、为什么0.33%与0.74%代表不同误差，这个案例才真正完成了从软件操作到CAE验证思维的转换。

参考资料

Ansys Workbench Verification Manual, Release 2024 R1, VM-WB-MECH-002, pp. 21–22.

Budynas, R. G., & Nisbett, J. K. Shigley’s Mechanical Engineering Design, 8th ed., Section 3–13, Figure 3–29 and Table A–15.

Kirsch, G. (1898). Die Theorie der Elastizität und die Bedürfnisse der Festigkeitslehre.

Ansys Help: Using Adaptive Convergence, Mechanical 2024 R2 documentation.

发布摘要：复现ANSYS官方圆孔板案例，从Shigley有限宽板应力集中系数出发，用MATLAB与自适应网格解释292.36 Pa如何收敛到314.81 Pa，并厘清Kirsch 300 Pa、官方目标312.5 Pa和最终误差0.74%的区别。

建议标签：#ANSYS #有限元 #应力集中 #网格收敛 #MATLAB #CAE验证