千里姻缘一线牵，有限元中的月老：绑定算法
关键词：绑定（TIE），主从面，接触算法，复合材料，自研软件，有限元，SFEM
工程问题的仿真中，绑定（TIE）功能非常重要，因为大部分的工程结构都是装配体，多个组件通过螺栓、铆钉、胶粘组装到一起。
绑定功能，顾名思义就是可以模拟这些连接关系，将两个部件在接触的位置“绑起来”，一起变形（协调），共同进退。
因此，对于商用有限元软件来说，如果不具备绑定功能，就不具备工程应用的价值。
上世纪70年代，有限元软件刚刚起步的时候是没有绑定算法的，这就要求不同部件的网格要严格对齐。
我们都知道，常规的有限元仿真，工作量最大的就是在几何清理和网格划分上。严格的网格对齐要求，更是增加了巨大的工作量，给部件的迭代更新设计带来了困难。
即便有了绑定功能，一些复杂的型号项目，团队仍然动辄要花费半年甚至一年的时间用来做网格。在不具备绑定功能的时期，这个工作量更是不可想象。
正所谓“千里姻缘一线牵”，绑定算法无疑就是有限元中的“月老”。
当月老好呀，近期在全自研的复合材料壳有限元软件（SFEM）开发中，我也当了一把月老，给软件增加了绑定功能。
一生二，二生三，三生万物。绑定功能的增加，意味着SFEM软件在工程应用价值方面，有了质的突破。
SFEM实现装配体仿真
1. 基本原理与理论
（1）原理
在两个部件网格节点不匹配的情况下，采用多点约束（MPC）的方法，利用形函数插值建立从属面（从面）节点与主控面（主面）节点间的耦合关系。
也就是说，从面节点的变形是根据主面变形算出来的，这也是为什么有限元软件中要设置主从面的关系。
我们知道，有限元中的约束关系，比如位移、自由度固定等，都是通过修正刚度矩阵实现的。
这里也不例外，从数学上来说，从面节点的位移可以用多个主面节点的位移乘以形函数系数得到，可以写成线性方程组的形式。
但是在求解前，我们是不知道主面节点的位移的。为此，就需要将上述关系式引入到刚度矩阵中。
具体的算法设计我们是采用经典的罚函数方法，将上述关系乘以一个大数，加入到刚度矩阵中。
这种设计，相当于在主从节点之间牵了一根“硬弹簧”的线。
（2）特点
了解这个原理以后，很多有限元软件中绑定功能的“忌讳”就很容易搞懂了。
Tips 1 主面网格宜粗，从面网格宜细：
这个目的是保证每个主面节点都能分配到至少一个从面节点。因为如果有多余的主面节点，它们无法和从面节点建立关联，就会成为不受控分子，可以自由的“穿透”从面。
和现在这个性别比例失调的社会有点像。
Tips 2 “一主对多从”，而不是“一从对多主”：
先叠个甲，以下内容不是性别歧视，仅仅是为了方便解释绑定算法引用的俗语。
正所谓“一马不背双鞍，一女不事二夫”，一个从面只能对应一个主面。从上面的算法可以看出，从面位移由主面决定，如果出现多个主面，那么两个结果就会“打架”，方程组可能无解。
这个时候ABAQUS这类软件，就会报过约束的错误。
但是目前这个算法仍处于“封建社会”：允许一夫（主）多妻（从）。
Tips 3 刚度大的做主面，刚度低的做从面：
胳膊拧不过大腿，谁能力强谁当老大，如果反过来就会出问题。
从数学上来说，我们在设计罚函数的时候，是对主面节点刚度乘以一个放大系数，如果主面比较“软”，这个约束的作用就会很弱，造成结果失真和单元穿透。如果强制提高系数值，又会使软主面自由度上的方程对角元极度悬殊，导致全局刚度矩阵病态。
2. 软件适配
通常来说，求解器增加一个小功能，界面部分的适配改动工作量都要放大很多倍。
有了绑定功能以后，我们需要在几何处理、网格处理、预处理和求解器方面都要做出较大改进。
（1）几何与网格：多模型管理
为了适应多个部件的分开交互，给几何和网格增加了子节点，便于进行多模型管理。
导入后的多个模型，可以通过节点右键进行显示控制、删除等。
多模型的管理
在划分网格的时候，可以选择指定的网格
（2）绑定实施
首先是建立带绑定区域单元的SET。如果采用节点绑定，则建立节点SET。
然后通过按钮定义，定义名称，选择主面和从面相应的SET，此时绑定区域会高亮显示。
绑定设置
绑定区域高亮（绿色为主面，红色为从面）
设置好的绑定关系会追加到“装配”的子节点中，便于修改，也可以设置多个绑定关系。
绑定设置流程
（3）预处理和求解器
这部分属于底层代码的修改。预处理部分，增加对绑定关系的处理，便于求解器接入。
求解器则是按照前面的理论方法增加了绑定关系对刚度矩阵的修正。
（4）效果
通过一个复合材料帽形长桁加筋壁板案例进行测试，长桁和壁板分块划分网格，接触区域的网格不对应。通过上述方法进行绑定关系设置，仿真后，长桁与壁板变形协调：
材料参数
铺层设置
相关工况结果与ABAQUS一致。
3. 总结
完成这一功能后，SFEM 2.0最核心的目标之一已经实现。
后面将会专门针对疲劳、固化变形等问题开展专门模块的开发。
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