拉伐尔喷管的壅塞压力比究竟怎样算？

作者： 叶汉玉

众所周知，拉伐尔喷管是一种先收缩、后扩张的管道（图1），作用是产生超声速气流。当拉伐尔喷管的反压与入口总压的比值p_b/p*小于一个临界值的时候，喷管喉部的流动马赫数达到1，喷管达到壅塞（choked）状态。此时，在保持入口总压不变的条件下，再降低反压也不会使流量继续增加了。

图1 拉伐尔喷管

但是，这个临界值（下面称为壅塞压力比）究竟是多少呢？相关的资料上并没有一致的说法。在流体力学教科书中，通常采用一维流动的模型来分析，认为壅塞压力比就是拉伐尔喷管处于临界流动状态的时候，出口截面压力和入口总压的比值。这个临界流动状态如图2所示，喷管收缩段为亚声速流动，喉部流动马赫数恰好等于1，气流在喷管扩张段又减速为亚声速流动。另外，认为气流在整个流动过程中都是等熵的。

 

图2  拉伐尔喷管的临界流动状态（一维流动模型）

根据这种模型推导出的壅塞压力比是

式中的k是气体的比热比。λ是临界流动状态时，喷管出口截面的速度因数，它是通过下面的非线性方程解出的

其中A_t是喷管喉部面积，A_e是喷管出口面积。

有些资料则直接认为拉伐尔喷管的壅塞压力比就是临界压力比

这两种方法算出的壅塞压力比相差甚远。例如，假设工质为空气（比热比k=1.4），喷管面积比A_e/A_t=4，则根据公式（1）算出的壅塞压力比是0.98，而根据公式（2）算出的壅塞压力比为0.53。

究竟哪个是对的呢？

公式（2）其实是收缩喷管的壅塞压力比计算公式。收缩喷管由于没有扩张段，所以最小截面就是出口截面，所以，如果在保持入口总压不变的条件下逐渐降低反压，那么当刚好达到壅塞的时候，出口截面的流动马赫数等于1，且出口截面的压力和反压相等。由于收缩喷管的总压损失很小，所以流动是很接近于等熵的，因此，这时候出口截面压力与入口总压的比值可以按照等熵流动气动函数来计算，其结果就是公式（2）。所以，收缩喷管的壅塞压力比可以用公式（2）计算。

但是，公式（2）其实并不适用于拉伐尔喷管。这是因为，拉伐尔喷管是有扩张段的，它刚好达到壅塞状态的时候，喉部截面的流动马赫数是1（而喉部压力就是公式（2）算出的数值），这时，气流在喷管扩张段中流动的时候，由于通道截面面积逐渐扩大，而且气流为亚声速流动，所以压力会有所增加，所以出口截面的压力要比喉部高。又因为这时出口截面是亚声速流动，所以出口截面的压力与反压相等。因此，拉伐尔喷管的壅塞压力比要高于公式（2）算出的数值。

其实，上面提到的公式（1）就考虑了气流在拉伐尔喷管扩张段流动时的压力增量，因为该式中的λ是定义在喷管出口处的。但是，公式（1）仍然是有问题的。问题就在于，推导公式（1）的时候假定气体在拉伐尔喷管扩张段流动的时候是等熵的，这并不符合实际。实际上，喷管扩张段中的总压损失比较大，不能按照等熵流动模型来计算。（渐扩管道的总压损失比渐缩管道大很多，见[3]。特别是当喷管扩张角较大的时候，往往出现流动分离，造成很大的总压损失。）因此，公式（1）总是高估了气流在拉伐尔喷管扩张段流动时的压力增量。所以，拉伐尔喷管的壅塞压力比要低于公式（1）算出的数值。

总而言之，拉伐尔喷管的实际壅塞压力比一般介于公式（1）和公式（2）算出的数值之间。具体数值与喷管扩张段的扩张角有很大关系。扩张角较小的时候，扩张段流动不分离，总压损失小一些，壅塞压力比就会大一些；扩张角较大的时候，扩张段流动发生分离，总压损失大，壅塞压力比就小一些。

为了给读者一个更直观的理解，这里用计算流体力学软件模拟了两个不同扩张角的拉伐尔喷管的壅塞过程。两个喷管的扩张角度分别为11°和30°，喷管面积比都是4，喉部直径都是30mm，入口总压都是5MPa，总温都是1000K，工质都是空气（如图3、图4所示）。计算结果如图5、图6所示。可以看出11°喷管的壅塞压力比大约为0.9，而30°喷管的壅塞压力比大约是0.66。(回顾上面公式（1）算出的压力比是0.98，公式（2)算出的压力比是0.53，可见实际的壅塞压力比在公式（1）和公式（2）之间。)

图5  11°喷管流量与压力比的关系。p_b为反压，p*为喷管入口总压。

图6  30°喷管流量与压力比的关系。p_b为反压，p*为喷管入口总压。

图7和图8是两种喷管壅塞发生的过程。图中画出了马赫数分布云图以及流线图。可以看出，11°喷管由于扩张角较小，喷管扩张段的流动分离不明显；而30°喷管则在扩张段有明显的流动分离。

图7  11°喷管的壅塞过程。

图8  30°喷管的壅塞过程。

工程上使用的拉伐尔喷管一般都是工作在壅塞的状态。因此设计的时候一般根据反压和入口总压的比值选用合适的扩张角度。例如，对于火箭发动机的喷管来说，由于反压（环境压力）远远低于入口总压（燃烧室压力），因此反压与入口总压的比值很小，所以可以采用较大的扩张角。一般来说，采用锥形扩张段的火箭发动机喷管，其扩张角在24°~36°之间（文献[4]）。类似的场合还有航空发动机的超声速尾喷管（文献[5]）等（注1）。但是，对于气体管路中用作流量控制元件的的音速喷嘴，一般来说希望其压降小一些，所以其反压和入口总压的比值较大，因此应采用较小的扩张角（例如，8°），否则在额定工作状态下不能达到壅塞状态。

感谢上海交通大学的研究生衣然、墨尔本大学的研究生刘丽媛阅读了本文初稿并提出了很好的修改意见。