当两个非协调固体接触的时候，它们最初是在一个点或一条线上接触。在微小的载荷作用下，它们在最初的接触点附近发生变形，致使它们在一个有限的区域上接触，尽管这区域比起两物体尺寸来说是很小的。

对两个弹性体接触处应力状态的令人满意的分析，是由赫兹首先提出的。

1.赫兹弹性接触理论

1.1.假设条件

1）材料是均匀的、各向同性的、完全弹性的；

2）接触表面的摩擦力可以忽略不计（即作用力与接触面垂直）；

3）接触表面是理想的光滑表面，接触区的尺寸远小于物体的尺寸；

4）小应变。

1.2.应用的三个基本原理

1.2.1.变形方程

1）点接触物体受力后其接触表面为椭圆；

2）线接触物体受力后其接触表面为矩形；

3）两个接触物体的变形符合变形连续条件。

1.2.2.物理方程

由于材料处于弹性阶段且服从胡克定律，因此接触表面上的应力的变化规律与接触体的应变成线性关系，在应变最大的接触表面中心压应力最大。Hertz假设接触表面的压应力分布为半椭圆体。

1.2.3.静力平衡方程

根据接触表面压应力分布规律求得表面接触压力所组成的合力应等于外加载荷。

1.3.赫兹接触应力公式

1.3.1.线接触（单位长度上载荷P）

半接触宽度，

平均接触应力，

最大接触应力，

1.3.2.圆形点接触（载荷P）

接触圆半径，

压缩量，

平均接触应力，

最大接触应力，

1.3.3.椭圆形点接触（载荷P）

平均接触应力，

最大接触应力，

2.典型接触物体计算公式

2.1.圆形点接触

2.1.1.接触面半宽

2.1.2.最大接触应力

平均接触应力为F/πc²；最大接触应力为平均接触应力的1.5倍。

平面与球接触时，取平面曲率半径为无穷大。圆球与凹球接触时，将凹球曲率半径取为负值。

由以上两式可见，最大接触压应力与载荷不是线性关系，而是与载荷的立方根成正比。随着载荷的增加，接触面积也在增大，使得接触面上的最大压应力的增长较载荷增长的慢。应力与载荷成非线性关系是接触应力的重要特征之一。

2.2.线接触

接触表面为矩形

2.2.1.接触面半宽

2.2.2.最大接触应力

其中，正号用于外接触，负号用于内接触。平面与圆柱接触时，取平面曲率半径为无穷大。

接触刚度是零件接触面抵抗变形的能力。接触刚度随着法向载荷的增大而增大，并受接触表面材料、硬度、表面粗糙度等的影响。

附录A.工程常用接触物体计算公式

A.1.圆球与圆球接触

A.2.圆球与平面接触

A.3.圆球与凹球接触

A.4.圆柱与平面接触

A.5.两圆柱体相交接触

接触区域是椭圆

载荷除以接触面积可得平均接触应力：

参考：

1）接触力学（Contact mechanics, K.L.Johnson），高等教育出版社

2）万向节和传动轴，北京理工大学出版社

来源：DeepFEA