有限元_补充_变分原理.ppt

节选段落一：
应用举例
系统的总势能：
在线性弹性条件下，
应变能密度，

单元节点位移为
单元位移模式：
单元应变：
单元内部的应变能：
单元刚度：
结构内的总应变能：
将所有节点位移分量重排为一列阵，按总节点编号排序
其中，
当结构分为m个单元后，总的外力功即为各单元上外力功值简单代数和：

令，
则，
同样，按总节点编号排序
其中，
结构的总势能：

结构总势能已经离散为节点位移的多元函数，但是一个有限自由度的泛函。


节选段落二：
由泛函数值条件， 即最小势能原理，
转换为多元函数的极值条件，则，
结构总势能的一阶变分，
最后得到有限元方程：

注意：
上式是由最小势能原理导出的结构有限元方程，对于所有线弹性问题，具有普遍适用性。
与前面讨论的由虚位移原理建立有限元方程相比较，其差异在于，不必引入虚拟节点力概念，不涉及到单元节点力作虚功；
只要存在物理问题的泛函，就可以采用有限元方法求解？


节选段落三：
有限元法：
以虚位移原理、Ritz法、或最小势能原理为基础，在Ritz法基础上发展，本质上类似于Ritz法；
位移函数只是要求在单元域内连续，在全域内并非完全连续，且仅需 阶连续性；
通过泛函变分、位移变分、节点位移变分，建立有限元方程，直接求解节点位移。

4.6 加权残数法
一种直接求解控制方程的近似方法。适于力学、及其它工程问题。

当不能建立与控制方程等效的泛函驻值问题，即不能找到一个泛函，使其取驻值时导出的Euler方程为控制方程时，就可采用这种方法来求解，并导出相应的有限元方程。