泊松方程和拉普拉斯方程

1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量 除以它们到任意观察点P的距离 ,并且把这些商加在一起，其总和 即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程： ,叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程 1813年,S.-D.泊松撰文指出,如果观察点P在充满引力物质的区域内部,则拉普拉斯方程应修改为 ，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用,并指出导体表面为等热面。
　静电场的泊松方程和拉普拉斯方程　若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=- 和高斯定理微分式[ ，即可导出静电场的泊松方程：
，式中 为自由电荷密度，纯数 为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数 =8.854×10(法／米。在没有自由电荷的区域里， ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程
。在各分区的公共界面上， 满足边值关系

式中 ， 指分界面两边的不同分区， 为界面上的自由电荷密度， 表示边界面上的内法线方向。
　边界条件和解的唯一性　为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷[835-04] ,叫做诺埃曼边界条件。
　边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
　除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。
　静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程　在SI制中，静磁场满足的方程为
式中 为传导电流密度 第一式表明静磁场可引入磁矢势A描述：

　在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度 [134-1] 0的区域里，磁矢势满足的方程为
选用库仑规范， ·A=0，则得磁矢势A满足泊松方程
式中纯数 为媒质的相对磁导率， 真空磁导率 =1.257×10(亨／米。在传导电流密度 =0的区域里,上式简化为拉普拉斯方程
静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三个直角分量满足的方程与静电势满足的方程有相同的形式。对比静电势的解，可得矢势方程的解。