CFD计算为什么需要壁面函数？

不论是速度场、温度场还是其他变量，在壁面附近的梯度都变化非常大，而壁面的附近梯度的准确计算对剪切力、换热量等梯度相关的量的计算至关重要。比如，在有壁面限制的速度场中，根据壁面无滑移条件，壁面速度为0，随着离壁面距离增大，速度逐渐增加到主流速度。其中越靠近壁面，速度的变化梯度越大，因此在壁面附近需要相当稠密的网格才能准确的捕捉到这些梯度。

但是当壁面附近网格非常稠密时，就会导致收敛性较差的问题。如图二维机翼外流场网格，表面附近由于网格厚度很薄，就会导致出现非常大的长宽比问

题，如果网格扭曲度再增大，那么网格的质量就会变得较差，而求解器面对这些质量差的网格便容易出现求解过程不稳定、收敛性变差的问题。同时网格数量急剧增加，求解时间也相应增加。

对于有限体积网格，存储在网格中心点的变量之间的变化是线性的，因此如前所述，若要对壁面附近的变量准确捕捉，需要网格非常密才有可能。为解决这些问题，可在近壁面处采用较大的网格，而使网格中心到壁面变化用非线性变化函数来模拟，该非线性变化函数也称为壁面函数。

既然要用壁面函数来模拟近壁面行为，那么近壁面行为实际如何表现的呢？下图为实验及DNS模拟得到的数据，显示了近壁面处无量纲流速的变化情况。这里说一下y+及U＋的含义，y+为与壁面间的无量纲垂向距离，U+为无量纲切向速度，其中摩擦速度μ_Τ为基于壁面摩擦力得到的参考速度。

一般把近壁面区域分为三个区域，分别为Viscous Sub-layer、Buffer layer、Log-law区域。蓝线和绿线分别为标准壁面函数。由图可知，由于y+是对数坐标，实际上Viscous Sub-layer区域的速度线性分布，Log-law区域的速度log分布，两者分别在Viscous Sub-layer及Log-law region区域拟合的很好，而在Buffer layer区域，两者拟合的都不是很好。

方程（1）和（2）分别为蓝线和绿线的函数方程，其中k和E为经验函数，分别取0.4187和9.793。需要注意的是，方程（1）拟合很好的限制条件为y+<5,方程（2）拟合很好的限制条件为30<y+<200。这两个限制条件是后续网格边界层的划分依据。

两函数方程的相交点位于y+=11.25，因此可以用分段函数表示该连续函数。但是如前所述，当位于Buffer layer 区域时，即当5<y+<30时，方程拟合的并不好，会和实际数据相差较大，因此CFD网格划分时，不建议把网格节点至于该范围内。

因此这就导致两种不同的网格形式，一种是第一层网格处于Viscous Sub-layer区域，y+<5的稠密网格，一种是第一层网格处于Log-law区域，y+>30壁面函数的网格。

当然也可以采用单个、平滑且在所有y+范围内都能较好拟合的函数，比如Spalding’s wall function,该壁面函数平滑、连续且y+<300范围内都有效。

如图所示，Spalding’s wall function在Buffer layer区域也拟合的很好。但实际上大多数CFD程序在Buffer区域仍是采用Viscous Sub-layer和Log-law函数混合的方法。

还有一些壁面处理方法常常叫做automatic方法，顾名思义，该方法不需要用户指定使用哪些壁面函数，以及网格划分时考虑y+<5或30<y+<200,CFD程序会评估y+所处的范围，然后自动选择合适的壁面函数。

在CFD计算中，我们需要知道壁面附近的梯度、壁面剪切力等，那么在CFD程序代码中壁面函数如何执行的呢？我们知道，根据无滑移壁面条件，壁面速度为0，U_p为壁面临近网格中心节点存储的速度值，由动量方程求解得到。如果U_p至壁面的速度变化是线性的，也就是说网格中心节点位于Viscous Sub-layer区域，壁面剪切力求解便非常直接。

但是当网格中心U_p至壁面的速度变化是非线性的，也就是说网格中心节点位于Log-law区域，此时把30<y+<200条件下的非线性速度壁面函数带入至剪切力公式中，即可求得壁面剪切力。

对于CFD程序代码来说，无论壁面至临近网格中心点速度变化为线性或非线性，都希望用统一的表达方式。因此我们可以把非线性速度变化用线性方式表达，只是近壁面粘度有所不同，这样当网格中心节点30<y+<200时，采用Log-law壁面函数时，就只需要修改近壁面粘度即可。

为使两者表达方式更统一、简洁，我们可以把近壁面粘度表达为层流粘度及湍动粘度之和，湍动粘度可表达为如下条件函数形式，当y+<11.25时，此时层流粘度占据主要地位，因此湍动粘度为0。

因此最终不论网格中心点位于什么区域，只需要根据条件对湍动粘度作改变，即可用相同剪切力表达式求出壁面剪切力。

好了，说了这么多，y+应该取多少好呢？毕竟y+数值关系到网格边界层划分实际操作部分。总结如下几点：

（1）     尽量避免y+数值位于buffer layer区域,即5<y+<30,因为该区域壁面函数拟合不准确。

（2）     在有强压力梯度或出现流动分离的现象时，y+>30也有可能不够准确，另外y+~5也可能会处在buffer layer区域，因此传统做法或建议是y+~1，比如计算机翼的升力、阻力时，结果比较准确。

（3）     当然，如果有可能的话，最好的做法先进行一个简单的2D模型验证，或者通过实验数据验证模型。

References

https://www.fluidmechanics101.com