Johnson-Cook塑性模型与动态失效

一、Joh nson-Cook 塑性模型

J ohn son-Cook模型适用于较宽的应变率范围和由塑性生热引起绝热温升导致材料软化的场合，该模型可以同时考虑材料的应变硬化、应变率硬化和热软化，应用广泛。

J ohn son-Cook 模型实质上是将应变、应变率和温度这三个变量进行了分离，用乘积的关系来处理三者对动态屈服应力的影响。屈服应力表达式为：

*式中，

是非零应变率时的屈服应力；A为参考应变率

和转变温度 下材料的初始屈服应力；B和n为参考应变率 （一般认为是准静态）和转变温度 下材料应变硬化模量和硬化指数；C为材料应变率强化参数（在 及以下温度测得）； 为等效塑性应变， 为等效塑性应变率；m为材料热软化参数。

1. 当在等效塑性应变率 等于参考塑性应变率 时， 为1，即不考虑应变率的影响，只考虑温度的热软化：

为无量纲温度，物理意义为屈服应力与温度的相关性系数。其取值为：

式中， 为当前温度； 为融化温度； 为转变温度。当温度：

在转变温度及以下，屈服应力的表达式没有温度的相关性，即 为0。

在熔化温度及以上，材料将融化并表现的像流体，即 为1。

在转变温度和融化温度之间时 在[ 0,1] 区间内。

2. 考虑应变率的影响时， J ohn son-Cook 应变率相关性假设：假设 为在非零应变率 时的屈服应力与在参考应变率 时的屈服应力的比值，即：

则应变率之间存在的关系可表示为：

求得：

且：

则同时考虑温度软化及应变率影响时：

二、 J ohn son-Cook 动态失效（累计损伤）

J ohn son-Cook 失效模型利用累计损伤来考虑材料的破坏，是基于单元积分点处的等效塑性应变而建立的，不考虑损伤对材料强度的影响，应力和压力在损伤程度达到临界值时取为零值。定义损伤参数为 ：

式中， 是一个时间步长的等效塑性应变增量； 是失效时的应变。

假定失效应变 取决于塑性应变率 ，压力与等效应力之比p /q （p为压力，q为Mi ses 等效应力），无量纲温度 （屈服应力与温度的相关性系数），并在 J ohn son-Cook 硬化模型的初始阶段进行定义。假定相关性相互独立，则：

式中，d ₁ -d ₅ 是在转变温度及以下温度测得的失效参数。值得注意的是此表达式与Jo hnson 与Cook（1985）公布的原始公式在参数d ₃ 的符号上有所不同，因为大部分材料随着压力与等效应力之比的增加，其失效时的应变越大，所以上述表达式中d ₃ 通常采用正值。

三、几点说明

1. 在冲击载荷下，材料变形可近似看作绝热过程，塑性应变能大部分转化为热能，导致温度升高，温度升高又会影响材料的响应，因此将塑性热考虑到计算中才能准确的反应材料的响应。假定转化系数为0.9，则温度增量可通过应力与应变增量求得：

式中， ρ 为材料密度；Cp为材料比热容； 为塑性应变。

2. 标准形式的 J ohn son-Cook 应变率项采用较为简单的线性对数关系：

为增加应变率效应的敏感性，许多研究学者提出了多种形式的修正 J ohn son-Cook 模型。例如Hu h 和Kang（2002）提出了二次项形式：

此外 ， 还有其他三种 指数形式：

如 Allen、Rule 和 Jones (1997 ) 提出的 ：

Cowper-Symonds (1958) 形式：

非线性率指数形式 ：

3. Johnson-Cook 本构主要适用于应变率小于10 ⁴ s ^-1 的阶段 ， 此阶段控制塑性变形 的是位错热激活机制和由扩散控制的蠕变机制。在该阶段随变形速度的提高， 需更多的位错源同 时开动，位错之间的相互作用-相互缠绕，钉扎等， 使材料晶格中位错密度和 位错运动所需要的驱动力增大，则材料变形更加困难，宏观表现为材料 临界屈服应力增大。

而当应变率大于10 ⁴ s ^-1 时 ，由于变形速度快， 位错“ 来不及” 滑移 ，材料变形更加困难，材料的应力-应变率对数关系发生变化，但 Johnson-Cook 模型描述的材料本构关系在数值模拟时往往没有 应变率范围的限制，且没有随应变率增加定义相应的对数关系变化， 这就使得 Johnson-Cook 模型在高应变率情况下 会低 估计屈服应力。