从形函数与函数的连续可导性到ansys结果中的节点解与单元解的差异

       如题，《从形函数与函数的连续可导性到ansys结果中的节点解与单元解的差异》，形函数对结果的影响大部分人都能联想到二次单元比线性单元求得的结果更精确，但该文要表达的不仅如此，而是从更一般地讨论怎么从单元的形函数来理解节点解与单元解之间的差异。

       首先讨论单元的阶次。作为基础我们应该明白网格与单元的区别，网格是将几何体离散化后的结构，即组成几何体的微元，单元是这些微元的几何、物理或数学属性（这里我们并不打算详细讨论单元的这些属性，但是这些知识会方便对本文的理解）。我们经常在使用ansys或其他CAE软件时经常会遇到单元的选择以及单元阶次的选择，一般一种单元包括线性单元和二次单元甚至更高级的单元，比如在ansys中经常被使用的shell181（左）和shell281（右），线性单元使用的形函数是一次的多项式，高次单元使用的形函数是高次的多项式，形函数用于描述相邻节点之间的位移场，所以高次的单元可以更好的描述形状复杂的几何体。

       不同于常规材料力学中通过平衡方程求解（首先求得的解是力解），有限元方式求解的特点是首先求解出的结果是节点的位移解，即displacement of nodes，所有的节点位移形成了位移场，在空间上位移场一定是连续的，但是不一定是平滑的。哎哎，是不是特别熟悉的感觉，正是和高数中函数的连续性和可导性两个性质非常相似，不用奇怪，位移场本来就是用函数描述的，所以自然就存在函数的性质，所以用函数的性质来理解就可以方便解释一些现象了，下图分别是用两种形函数描述的位移场，在有限元求解后得到的首先是节点位移解，即图中5个节点的位移，假如每个节点的位移用坐标x\y\z的函数来表示，然后通过形函数插值得到相邻节点之间的位移（也是xyz的函数），上图是用一次形函数插值，下图是用二次形函数插值。无论用哪种形函数插值得到的节点间的位移都是连续的，但是无论用哪种形函数插值得到的单元连接处的位移都是不平滑的，假如节点1和节点2之间的单元是单元1，节点2与节点3之间的是单元2，无论采用什么类型的形函数，位移在单元1与单元2连接处（node2）总是不平滑的，把节点之间的连线看作函数曲线，在单元之间的连接处总是不可导的，但都是连续的，原因是形函数只在单元内描述位移场，从不跨界。

        那么为什么要强调位移场在节点处不平滑呢，只要连续那么在结果的位移云图上不就足够了吗？这就牵涉到应力，应力可以认为是位移场的微分解，很显然在节点处是不可微的，那么从单元1靠近节点2，可以称为单元1的右极限，从单元2靠近节点2可以称为单元2的左极限，那么问题来了，节点2的应力到底是通过谁的微分得到的结果呢？答案是从两个极限分别微分得到两个不同的结果，所以节点2有两个应力值，类似地其他节点也是一样的，当然这只是针对上图来解释的，如果是壳单元那么对于非边缘的节点将有4个应力值，而且都不相等，边缘节点将有2个不同应力值，两个边缘交点才只有1个应力值，这样解释是不是更容易理解一些呢。

       下面通过一个实例进一步说明，梁一端固定，另一端施加力。

       从应力结果云图可以看出节点应力结果等值线是平滑的，单元应力结果的等值线是锯齿状的，说明单元应力是一种不连续的应力，上图是下图经过平均后的结果，大多数时候我们比较喜欢经过平均处理后的应力值，因为这种结果比较美观，而且比较容易观察应力值的行为，所以在ansys中我们常常用PLNSOL来显示结果。单元结果是未平均处理的结果，为了进一步说明这种不连续应力将单元结果打印出来。

       单元157的148号节点应力为1044.5MPa，单元158的148号节点应力是1050.8MPa，同一个节点其应力值会不一样，这种差异可能在别的节点会更大，比如在应力梯度比较大的区域（所以应力梯度大的区域最好细化的网格），由此可知，同一个节点当它属于不同的单元时得到的应力值是不一样的，就像上文通过函数的可导或可微类比的那样，在节点处存在左右两个不同的导数，对于实体单元一个节点将有8个方向对应8个不同导数，即8个不相等的应力。理论上单元尺寸足够小单元在节点处的应力结果越接近一个值，即同一个节点不同应力值相差越小，越可以提高计算结果的精度，但是一味的缩小单元尺寸也是没必要的，ansys将通过平均处理不连续的应力使之变得连续甚至平滑而不失合理性，这就是PLNSOL命令的功能。

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