从大规模的地质区域到纳米尺度的结构，多孔材料的流动发生在所有长度尺度上。虽然达西定律已经涵盖了许多应用，但是在工业应用中，速度场和压力梯度之间的关系不再是线性的，达西定律不能提供准确的结果。在这篇文章中，我们将更深入的研究多孔介质中可能出现的不同流动状态，以及如何描述它们。
在微观尺度上模拟多孔介质中的流动
为了更深入地理解流经多孔材料中的流动特征，有必要仔细研究它的微观结构。这样我们不仅能更深入的理解多孔材料，也有信心使用宏观方法来模拟多孔材料中的流动。
下面的动画显示了一个大小为 2 cm × 2 cm × 6 cm 的复杂多孔结构，以及使用线性纳维-斯托克斯方程计算的流型。
小型多孔块中的流型。
这些多孔块中包含低流速和高流速的区域，也包含根本不发生流动的区域。即使结构是不规则的，当放大另一个位置的相同多孔结构样品时，其流动特性也是相同的。因此，这被称为 代表性单元体积（REV）。对代表性单元体积进行平均可以得到宏观方程，详见下一节内容。
为了表征流动并获得有关宏观方程的信息，下面几个数值很重要：
孔隙率
，描述了孔隙体积与总体积的比率，可以从几何形状计算
沿流动方向（纵向）下降的压力
，可以计算或预定义
表观速度
，或通过结构的体积流量
(m3/s)，除以总横截面积
(m2 )
宏观尺度的流动
达西定律是描述多孔材料流动的基本定律，它最初只是一个经验定律，后来在理论上由纳维-斯托克斯方程推导出来。它描述了速度场 
(1)
其中，
在规则结构中，如填充床或粒状土壤，渗透性可以由 Kozeny-Carman 关系推导：
(2)
其中，
线性达西定律适用于低速流动。与自由流动一样，多孔介质中的雷诺数
(3)
也用于表征流动，
线性达西定律适用于 
很明显我们可以看到，等式右侧的左项对应于达西定律。对于非线性项，Forchheimer 方程表明，
(4)
其中，
对于填充床，Ergun 方程非常有用，可以使用以下关系式：
(5)
在高雷诺数下，与惯性效应相比，黏性效应较小，并且 Ergun 方程中的非线性项占主导地位，被称为 Burke-Plummer 方程。
这些方程对多孔介质的非线性流动具有了一定的描述性，这在图表中会更便于观察。为了更好地观察，我们以平均粒径 
Kozeny-Carman、Forchheimer、Ergun 和 Burke-Plummer 关系的比较。
除上述考虑的情况之外，还有一种完全不同的非达西定律用于处理特殊的气体流动，即气体分子的平均自由程与孔隙尺寸大致相同的情况。在这种情况下，气体分子与孔道壁的碰撞比与其他气体分子的碰撞更频繁。这就是所谓的滑移流状态，其典型应用范围涉及从纳米材料到气体储藏建模。这种情况下的渗透率关系为
(6)
其中，
Klinkenberg 参数 
COMSOL 中的多孔介质流模块包含了所有上述渗透率模型。Forchheimer 和 Kozeny-Carman 方程也可用于支持多孔介质流动的其他模块。
软件中渗透率关系的位置。
非达西流，从微观到宏观尺度
那么，我们如何将这两种方法联系起来呢？第一个模型（REV）给出了速度对压力梯度的关系，我们还可以确定孔隙率和渗透率。类似的，我们还可以观察几个数量级的压降流动行为。由于结构复杂，孔隙结构模拟的计算成本相对较高，因此必须合理的求解。此外，与平均方程（方程2–方程 6）相比，纳维-斯托克斯方程本身就更为复杂。
使用宏观方法可以得到非常好的近似值。达西定律适用于小压降和低速流动，而 Burke–Plummer 方程适用于大压降和高速流动。
Forchheimer 方程可以很好地计算过渡区域。在本文的示例中，将 Forchheimer 方程与来自微观模型的数据相拟合，以获得 Forchheimer 参数 
本文我们从微观和宏观层面研究了多孔介质中的流动，并表明了：在各自的适用领域，使用宏观方法可以得到非常好的近似值。
多孔微通道散热器的优化模型就是使用 Forchheimer 方程模拟的一个工业应用例子。
在讨论了通过多孔介质的流动之后，接下来的文章我们将讨论多孔介质中的传热，敬请期待！
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