二阶反对称张量的一点理解

本文粗略对反对称张量进行简要介绍,结合了个人的理解,难免有错误和不足之处,还望批评指正。

反对称张量(skew tensor),在力学中一般代表旋转。任何二阶张量都可以分解为对称张量和反对称张量的组合:

二阶反对称张量的一点理解的图1

反对称张量之所以重要,是因为变形过程与旋转紧密相关。若二阶反对称张量的一点理解的图2,则认为A是反对称张量,很明显二阶反对称张量的一点理解的图3可以表示成下面的形式

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于是

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进一步推导,上式满足如下关系

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对于上式右端括号中的项二阶反对称张量的一点理解的图7,r为自由指标,(k,l)为哑指标,如果我们按哑指标展开:

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自由指标r表示方程的个数

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由于二阶反对称张量的一点理解的图10分量中的重复指标项等于0,顺指标为1,逆指标为-1,因此上式可变为

111.png                                                                                                                                             .............. (*)

上式右端项已经作了如下变量代换

二阶反对称张量的一点理解的图12

且wr(r=1,2,3)可以看作是如下矢量的分量

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可以看到,w1、w2、w3分别为矢量we1,e2,e3三个轴的分量。

一般地,我们习惯把A记为W,于是

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将上式代入二阶反对称张量的一点理解的图15的表达式,可以得到

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上式两端同时乘以二阶反对称张量的一点理解的图17,可以得到

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二阶反对称张量的一点理解的图19

如果我们把wr当作一个向量w的分量,称为“轴向量”,很明显,矢量w与旋转张量W相关,实际上通过(*)式可知,wr恰好对应的是旋转张量W分量Wij的轴向方向,二者符合“右手法则”,如下图所示:

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figure 1.  Antisymmetric tensor components and the axial vector[1]

对于矢量而言,有“投影”的概念,如:对于一个矢量v,投影到ei轴的分量表示为

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同样,对于二阶张量亦有“投影”的概念,根据张量积的概念,张量的投影需要张量同两个矢量轴点乘,因此可以将二阶张量W的“二次投影”定义如下:

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而若是一个矢量与张量点乘(左乘或右乘),则是改变该矢量的方向和大小,称为“一次投影”,例如:

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上式清晰描述了a矢量经W张量转向后在各个基矢量方向的大小。其中,i为自由指标,j为哑指标,于是将上式写成分量形式

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由于二阶反对称张量的一点理解的图25,所以上式简化为

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上式清晰表示了矢量a通过W转向后所得矢量在三个轴方向上的大小。另一方面,考虑到W与w有直接关系,W·a是一种转向、变大小的运算,叉乘运算也是一种转向、变大小的运算,因此下面我们计算轴向量w×a,看是否同W·a有直接关系:

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对比可得

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当然,上式关系也可通过上面的关系二阶反对称张量的一点理解的图30直接证得:

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二阶反对称张量的一点理解的图32

figure 2. Orthonormal basis defined by the axial vector[1]

下面我们考虑轴矢量w同某个新坐标系二阶反对称张量的一点理解的图33的某个轴方向重合(如figure 2所示),假设重合轴为二阶反对称张量的一点理解的图34,即二阶反对称张量的一点理解的图35,于是

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矢量a在新坐标系中的表述为

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所以

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因此

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W在新基的三个方向上的一次投影分量为

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W在新基的二次投影分量为

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W在新基上的分量可表示为

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W分量和轴矢量在新坐标系中的表征如下图所示

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由上图可知,此时新基二阶反对称张量的一点理解的图44方向对应单元的纯剪切方向。




参考文献:

[1] Chaves E W V. Notes on continuum mechanics[M]. Springer Science & Business Media, 2013.







力学
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