复合材料力学介绍 | （4）单层板宏观力学分析

引言

本文将简要介绍宏观尺度下的复合材料单层板的相关分析方法。

本文开始，会牵涉到一些公式，文章会尽量减少那些不影响对内容理解的公式；并且对列出的公式，读者也可以学着怎么看这些公式；结合定义和论述的思路，公式的结构形式是远远重要于它的具体内容的。

单层板

复合材料宏观力学主要围绕层合板展开，而单层板是层合板的特殊情况，也是层合的基本组成单元。因此，在讨论层合板之前，需要对单层板的宏观力学进行讨论。

这里我们仅针对厚度相对比较薄的单层板进行宏观力学分析，即可以视作平面应力问题进行处理；并且我们主要讨论正交各向异性材料；而事实上，大多数的单层板都符合这些原则。

本文主要从以下几个方面介绍：

• 单层板的应力-应变

• 单层板任意方向的应力-应变

• 正交各向异性单层板的强度理论

单层板的应力-应变

平面应力问题针对很薄(厚度尺寸远小于长宽尺寸)的等厚度板，并且只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化；因此近似认为

对于正交各向异性材料主方向的本构关系为（柔度矩阵形式）

刚度矩阵与柔度矩阵互逆，则刚度矩阵形式为

对于正交各向异性材料，存在4个独立的工程参数。

这里需要额外说一下，如果拿完整的矩阵处理（即考虑平面外的第三个方向），柔度矩阵求逆会得到稍微有些不同的刚度矩阵C；矩阵C会略大于Q，这是由于平面应力的处理方式；因此，Q在一些场合被称为折减刚度矩阵。在大多数情况下，不需要对此做过多的关注。

单层板任意方向的应力-应变

前面讨论了材料主方向的应力-应变；而实际复合材料应用过程中，由于复合材料不是各向同性的，多层板之间存在不同方向的铺层，并且并不总能和多层板的全局坐标方向一致；因此，我们需要先讨论单层板在任意方向的应力-应变关系。

这里的任意方向指的是平面方向，对应的就是不同单层板相对层合板总体坐标的铺层角度。

首先是应力的角度转换关系

这里转换矩阵T不是对称矩阵，也不是正交矩阵；不必记具体的矩阵内容，这里知道坐标变换通过一个转换矩阵就足够了。

同样，应变也可以通过类似的转换矩阵转换不同方向的应变。

则偏轴的应力-应变关系为

值得注意的是，在偏轴状态下，拉伸会引起剪切变形；并且不同的铺层角度，会引起不同方向刚度的不同，即各向异性弹性模量是随着角度变化的；材料性能的极值也并不一定发生在材料的主方向上。

最后

本文介绍了单层板宏观力学分析中的应力-应变关系，也就是刚度的描述，下文将简要介绍下单层板宏观力学分析中的强度理论。