频响函数及其与传递函数的关系|稳定裕度的理解

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传递函数通常用于判定系统的绝对稳定性，也就是当系统的传递函数极点全部处于复平面的左半部分时，系统是有界输入有界输出（BIBO）稳定的（王天威P77）。在之前的博文中，我们对传递函数有如下理解：

G(s)本质上是一种对输入信号（定义在s上的）复振幅密度的幅值增益和幅角移动。

数峰青，公众号：数峰青 系统的复域分析：从增益角度理解传递函数

也即将它理解为原系统经过β“衰减”后的“复增益”频谱。然而，跟拉普拉斯变换的定义一样，这个β“衰减”是我们设想出来的，相当于假设这么一个衰减因子，进而使得我们能在复域求出传递函数的极点，具体见：

数峰青，公众号：数峰青 拉普拉斯变换总结

对于一个经过传递函数的极点判定已经具有BIBO稳定性的系统，其β“衰减”已经失去作用了。这时候我们更关系系统本身对不同频率的谐波的增益如何。

系统不经过β“衰减”所具有的对谐波的增益就是系统的频响函数，其实就是传递函数中取β为0得到的结果。传递函数是定义在复平面上的，想象其图像是三维空间中的一个曲面，曲面以s为自变量，以G(s)为函数。取β为0，实际就是用该三维空间中β=0表示的平面去“切”这个曲面，进而将函数降维为一个以iw为自变量的一元函数。总之，稳定系统的频响函数表示其对一个谐波的复振幅频谱的增益（含幅值增益和幅角移动）。

当然，也有利用系统在谐波作用下的稳态响应来建立频响函数概念的，如王天威P114和卢京潮P143。这样的好处是能更好理解什么是稳态响应。

其实也可以通过傅里叶变换来建立频响函数的概念。如前所述，频响函数是针对具有BIBO稳定性的系统的表征手段。既然其已经是稳定系统，那么可以说明该系统的单位脉冲响应是满足古典傅里叶变换条件的。仿照传递函数的定义G(s)=U(s)/F(s)，也可以将一个有界输入的傅氏变换与该系统得到的相应有界输出的傅氏变换分别代入该式即可得到系统的频响函数。

总之，以上几种方式是内在统一的，不过个人更愿意从增益的角度理解频响函数。因为得到广泛应用的伯德图便反映了频响函数具有增益本质的事实。伯德图中的对数幅频曲线就是将频响函数的幅值变换为20log(G(iw))随频率的变化曲线，该公式不正是增益的公式吗？

关于依据频响函数建立起来的伯德图的应用，可以将其结合对数稳定判据，判定系统的绝对稳定性（卢京潮P174），当然，这需要结合奈奎斯特判据来一起理解。伯德图的更重要应用时判定系统的相对稳定性即稳定裕度（卢京潮P176）。

现在来理解系统的稳定裕度。根据个人理解，一个闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性都是通过其开环传递函数来判定的。闭环系统的开环传递函数其实是将带反馈环节的闭环系统结构图变换为单位反馈的形式后，该单位反馈结构图中开环环节的传递函数（王天威P91）。闭环传递函数与其对应的开环传递函数的关系如下图：

其中G表示开环传递函数，Φ表示闭环传递函数。将该表达式中的s的实部取0即得到系统的频响函数。另外可以看出，倘若频响函数中G取-1了（Re(G)=-1,Im(G)=0)，则Φ会取得一个无穷大，表示(Re(G)=-1,Im(G)=0)成为了系统闭环传函的一个极点，系统失去绝对稳定性。然而，这是不可能的，因为系统的绝对稳定性已经通过闭环极点处于s平面左半平面判定好了的，所以频响函数G不可能取到(Re(G)=-1,Im(G)=0)。

不过，这样一个系统对于某些频率的谐波输入，可能发生比较漫长的振荡，这是我们实际当中不希望看到的（例如实际工程中的阶跃激励就蕴含着无穷多种频率的谐波，指不定哪一个就会让系统的输出振荡）。这种振荡的原因在于G(iw)的值随着w的变化可能会离(-1,0)会很近，其实就是距离闭环的极点很近，此时G(iw)表示的增益也会很大很大。

稳定裕度就是表征闭环系统的开环频响函数值G(iw)距离(-1,0)这一点的远近程度。相角交界频率就是G(iw)的相角为-180°时的频率，此时需要幅值远离1，如果等于1，则G(iw)的实部在-180°的相角下经欧拉公式一算，正好等于-1，虚部正好为0。此时幅值远离多少的增益值就表示幅值裕度。

截止频率就是G(iw)幅值为1的频率，此时要求相角不为-180°，不然实部为-1了。这两种情况都需要有一定的裕度，相当于在幅值和相交其中一个可能导致实部为-1的时候，要通过调整系统参数对另一个保持一定的裕度避免此情况。

瞎写的，写的比较乱，还可能有错误，请原谅，就当唠嗑儿吧。

参考资料：

王天威《控制之美卷1》清华大学出版社，2022.

卢京潮主编，赵忠等编著《自动控制原理》清华大学出版社，2013.