多晶塑性任意复杂网格周期性边界的施加 原创

  多晶材料的宏观性能来自内部晶粒与晶界的复杂相互作用，而我们在计算中只能截取有限大小的 RVE。如果边界处理不当，RVE 的响应会被“边界效应”主导：例如边界过度约束导致材料显得过硬，或边界过度自由导致材料显得过软，甚至出现非物理的应变局部化或旋转模态。这种误差会直接影响应力–应变曲线、各向异性参数（如 R 值）、晶粒内应变分布和损伤起裂位置等关键结论。

  周期性边界条件的目标是：让 RVE 的对边在变形上保持一致性，使得 RVE 在数值上可看作“无限周期平铺”的材料内部单元，从而在有限计算域内尽可能逼近真实材料内部的连续性与统计代表性。尤其对于多晶结构，周期性边界能显著降低边界引入的偏差，使 RVE 对晶粒数、晶粒形貌与取向统计的敏感性更可控。

  周期性边界的核心思想是“对边协同变形”。直观理解：如果把 RVE 沿三个方向无限重复拼接，那么相邻两个单元在拼接面上的位移与变形必须连续，否则材料会出现裂缝或重叠。因此，在周期性条件下，RVE 的一对相对边界（或面）需要满足两点：（1）波动位移在对边相同：也就是去掉宏观均匀变形后，剩余的局部起伏在对边要匹配；（2）宏观应变通过对边位移差来体现：对边的位移差对应外加的平均变形（例如单轴拉伸、剪切等）。这样，RVE 内部既允许存在晶粒尺度的不均匀变形与应力波动，又保证了边界处与“相邻单元”拼接时的兼容性，从而实现对无限材料内部行为的合理近似。

  在很多工程实现里，周期性边界常依赖“节点一一对应”：要求相对两边（两面）具有严格相同的网格拓扑与节点分布。为了满足这一点，建模时往往需要：在几何上确保边界严格对齐；在网格上强制生成周期匹配节点；甚至为满足配对而牺牲局部网格质量。

  对多晶模型而言，这带来一个典型问题：边界锯齿形。当晶粒形貌复杂、晶界曲折或需要局部加密网格时，为了保持对边节点对应，边界常被迫变成“阶梯状”的几何近似。这会引入额外的几何误差与数值误差：边界附近应力集中被人为放大、局部刚度出现非物理变化，甚至影响裂纹萌生与剪切带路径判断。对于包含第二相、孔洞、夹杂或复杂晶界网络的模型，这类局限更突出。

“非匹配网格下的周期性边界”要解决的关键就是：相对两面不再要求节点一一对应。其基本做法是将对边位移连续性从“节点对节点”提升为“点对面/面到面”的映射关系：对边某一点的位移可以由另一侧面上相邻单元的插值来表示，从而建立周期性约束，这带来的价值非常直接：

1. 不牺牲网格质量：可以在需要的区域加密、在晶界处优化单元形状，而无需为了配对去迁就对边节点；
2. 适配真实复杂几何：晶粒边界、第二相形状、孔洞等可以更自然地离散，减少“锯齿边界”带来的假象；
3. 提升建模效率：无需反复调网格去满足周期配对，显著降低前处理成本；
4. 更稳健的多物理耦合：对相场裂纹、扩散–力学耦合、损伤演化等，边界几何与网格质量常是结果可靠性的前提，非匹配 PBC 能提供更通用的边界框架。

简言之：它把周期性边界从“依赖网格结构的技巧”变成“适用于任意网格的通用约束能力”，让多晶模拟在复杂微结构问题上更可扩展、更可复用。

这里展示使用“非匹配网格下的周期性边界”的二维和三维复杂模型的非体素网格的周期性模拟结果：

二维模型：

拉伸变形结束后的模拟结果：

等效应力分布：

累计剪切滑移：

三维模型：

拉伸变形结束后的模拟结果：

等效应力分布：

累计剪切滑移：

周期性位移确认：

位移U2：

位移U3：

可以看到，位移分布特征（镜像）具有完美的周期性特征