弹性力学的基础知识

一、 弹性力学基本概念

　

　

　

　

　

（图1）

　

表1

坐标轴	X	Y	Z
X’	l1	m1	n1
Y’	l2	m2	n2
Z’	l3	m3	n3

　

　

　

　

　

6、主应力、应力主方向、主剪应力、应力偏量

若经过物体中一点P处的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，该斜面称为P点的一个主应力面，而该斜面的垂线方向称为P点的一个主应力方向。

可以证明，在弹性体的任一点，一定存在三个相互垂直的主应力面及和它们对应的三个主应力，通常用s ₁、s ₂、s ₃。而且，任何一个斜面上的正应力都不会大于三个主应力中最大的一个，也不会小于三个主应力中最小的一个。主应力与主方向可以用以下的方法求得：

假设N是P点应力状态σ_ij的一个主方向，N与原始坐标系x、y、z的夹角方向余弦为l,m,n,它们间总满足：

l²+m²+n²=1 （10）

在垂直于N的截面上只有正应力σ(某个主应力)作用，则由何西公式(3)式知

上式中l,m,n为待求的方向余弦，将上式移项可以得到求解的齐次线性方程组:

（11）

方程(11)零解的条件是其系数行列式值为零，即：

（12）

(12)式称为该应力状态的特征方程式，它是一个三次代数方程，可以证明它有三个实根，称为特征根，就是应力状态σ_ij所对应的主应力。可以将此三个主应力按代数值大小排列,分别以σ₁,σ₂,σ₃表示之；将每一个主应力代入(11)式的任意二式和(10)式，(11)式的三式中只有二个独立的式子，可解得该主应力对应的主方向的方向余弦(l,m，n)共得到三个主方向，用N₁，N₂，N₃分别表示之。可以证明，这三个主方向是互相垂直的，可以构成一组新的正交基矢量。于是求主应力的问题化为求解特征方程(12)式的问题。

可以证明，特征方程(12)式的系数I₁，I₂，I₃是只与应力状态有关，与所选择的原始坐标系无关的量，分别称为该应力状态的第一、第二、第三不变量。即

（13）

（14）

（15）

一点的应力状态可以用叠加原理分解为两部分：

（16）

其中第一部分应力状态称为应力球量，表示三向等拉（压），仅仅引起物体的体积变形，第二部分应力状态称为应力偏置，是只引起物体形状改变的应力，用S_ij表示

（17）

S_ij也可以用与（13）至（15）式类似的式子求出其第一、第二、第三不变量J₁，J₂，J₃，但此时J₁=0

（18）

（19）

还可以证明S_ij与s _ij具有相同的主方向。

主应力的具体求解可以采用以下两种方法：

特征方程为

于是：

（20）

二、对于任意的三维空间应力状态，可按下列步骤计算：

1、计算八面体正应力s ₀

（21）

2、计算八面体剪应力t ₀，t ₀实际上只有与S_ij有关，与s ₀无关。

（22）

t ₀与按第四强度理论的折算应力s _i之间有以下关系：

（23）

3、计算

（24）

（25）

下面求已知三个主应力时对应的最大与最小剪应力所作用斜截面的法向N（l，m，n）与其大小t _N。由（4）式，斜截面上正应力

（a）

斜截面上的全应力在坐标轴上的投影为

（b）

将式（a）和式（b）代入公式（5），得

（c）

用关系式消去（c）中的三个方向余弦之一，例如l，得

　

　

　

　

　

为了求出的极值，命，简化以后，得

由方程(d)求解m及n将得出两种解答B。第一种是m=0,n=0。第二种解答是m=0，n=或者是n=0,m=。对于每一组解答，都可以由关系式l²+m²+n²=1求出l,并由式(c)求出。

　

　

　

　

　

　

弹性体在受外力后，将发生位移和变形，也就是位置的移动和形状的改变。

为了研究弹性体内任一点P的变形，同样在这一点沿坐标轴正方向取出一个平行六面微分体，如图4所示。弹性体变形后这三个线段的长度及它们之间的夹角（直角）都将有所变化。线段每单位长度的伸缩为正应变，线段之间夹角的改变量称为剪应变（角应变）。正应变用字母ε表示并加上一个下标字，以表示哪一个坐标轴方向的线段的正应变。例如，ε_y表示y方向的线段的正应变，其余类推，图4（a），正应变以伸长时为正，缩短时为负。剪应变用字母g 表示并加上两个标字，以表明哪两个坐标轴方向的线段之间的夹角的改变，例如γ_yz就是y与z两个方向的线段之间夹角的改变量，其余类推，图4（b）。剪应变以夹角变小时为正。变大时为负。

同样可以证明，如果某一点P的六个应变ε_x，ε_y，ε_z，γ_xy，γ_yz，γ_zx是已知的，就可以求得经过该点的任一微小线段的正应变，以及两个微小线段之间夹角的改变。也就是说这六个量可以完全确定该点的形变状态，它们就称为该点的应变分量。一般来说，应变分量也是坐标x、y、z的函数。

六个应变分量的总体，可用一个列阵{ε}表示：

　

　

　

　

　

　

　

　

现于M点附近取一点N，N点坐标可表示为x+dx,y+dy,z+dz。N点位移分量u₁,v₁,w₁,也是N点坐标的函数，即

　

　

　

　

　

将（28）式用台劳级数展开，其中第一式

　

　

　

　

　

略去二阶以上的高阶微量，得

（29）

经过位移以后，直线MN原来的长度改变了，两端点M与N的相对位移为

（30）

正是由于这种相位移引起了物体的形状变化，从而产生应力。

如果M、N两点位于平行某坐标的直线上，例如平行于x轴，dy＝0，dz＝0则（30）式变成：

（31）