变分法与有限元思想

在《鸡兔同笼与弹性力学的方程体系》中已经看到，弹性力学的理论体系是以应力分量、应变分量和位移分量为未知量，利用力学原理构造出平衡方程、几何方程和物理方程，并结合边界条件求得弹性力学未知量。

 

更进一步，在空间坐标系下，应力分量和应变分量各为6个、位移分量为3个，共15个量，可列出15个方程组成的方程组，如下：

在数学上要求解这15个量必须进行“消元”，弹性力学中的“消元”主要有两类，一是将所有未知量均用应力来表示，称之为力法；二是将所有未知量均用位移来表示，称之为位移法。

能量法是基于虚功原理和最小势能原理发展的求解方法。在弹性力学中，虚功原理可以表述为在弹性体上，外力在任意一组几何可能位移上作的功，等于任意一组静力可能的应力在上述几何可能位移所对应的应变上所作的功。在虚功原理基础上发展出了弹性力学的基本原理——最小势能原理，即在所有几何可能的位移中，真实的位移使总势能取最小值。

在自然界中广泛存在着最小作用量原理（请参见浅说最小作用量原理），该原理指出在自然界中的一切现象很可能都由一种作用量以最小化的方式进行控制。例如一个稳定的小球必定是在势能最小的位置，光线的反射、折射、透射现象就是要光通过介质的最小时间来控制的（费马原理），费曼（Feynman）还利用最小作用量原理建立起了量子力学的理论体系等等。

庞加莱曾赞誉道“最小作用量原理迄今未经触动，人们似乎相信他会比其他原理更久长”。爱因斯坦则讲到最小作用量原理似乎“使物理学家们窥探到了那么一点点“上帝”创造世界的秘密。”它的高度抽象，足以使它成为大自然最迷人、最美妙的原理之一，它的简洁性和普适性令人震撼。似乎在科学的范畴中，人类只需要找到合适的作用量去描述自然，一切皆可明朗！

最小势能原理就是弹性力学中的最小作用量原理，利用最小势能原理求解弹性力学问题就必须先表示出弹性体的变形势能。为了便于理解，我们选择杆件的简单拉伸作为例子来解释。如图1所示杆件，受集中力P作用（本例题选自曾攀《有限元分析基础教程》）

图1

利用材料力学知识求解该问题，得

以下我们来看如何利用最小作用量原理来求解该题。显然求解该题要先设出未知量，根据弹性力学选取未知量的方法，可以选择应力作为未知量、或者选择位移分量作为未知量。根据应力、应变、位移之间的关系，设出位移，利用位移表示应变、应力是求导。相反设出应力，利用应力表示应变和位移会出现积分（会涉及到积分常数），为方便起见，这里我们设出位移，由于本问题是一维问题，只有一个位移分量设为u(x)。

写出杆件的变形势能，包括两个部分，第一部分是梁在变形过程中储存的应变能U（线弹性），二是合外力所作的功W，即

傅立叶级数，可逼近任意函数。来源

https://mp.weixin.qq.com/s/LkAsbmD8ezGwxTS2BwNrZQ

有限元就取了第二种方法，先将全域分为一个个子区域，即单元，然后构造每个单元的内能，通过叠加求到总内能，依据最小势能原理确定出位移解，继而依据几何方程和虎克定律求到应变解和应力解。

假设有一个截面不均匀变化的杆件，如下图(a)所示。可见，这个杆件的受力分析要比图1杆件复杂的多，如果我们对该杆件进行离散化，如下图(b)所示，将杆件分为若干小段，只要小段取的足够短，在只考虑一维拉伸时（设想杆件很长）就可以将每一段视为等截面的直杆,并且假设截面面积为该段的平均面积A^e（也可以用线性函数表示），这样就将连续杆离散为了多个杆单元，并且每个单元都变成等截面直杆拉伸问题。

 

任取出一段进行分析，如图5所示，设出两个节点位移分别为u₁和u₂，节点力假设为P₁和P₂，现在来看如何写单元的变形势能。首先写应变能时，需要整个单元上的应力、应变，因此需要构造出整个单元上的位移。例如假设整个单元上位移近似为线性，就可以以节点位移为基准点写出单元上的位移为

这里K^e称为单元刚度矩阵，注意A^e表示该单元的平均截面面积，为x的函数。把所有单元的变形势能叠加，求最小值就可得出真实的位移解。

有限元的理论研究主要是对各种单元的研究，如三角形单元、四边形单元，以及包含各种力学理论的梁单元、板壳单元和实体单元等。

 

有限元法的快速发展主要在20世纪40年代，由于对飞机结构进行精确的设计和计算需求，研究人员逐渐发展出了的结构力学中的矩阵位移法，结构力学中的离散思想应用于弹性力学问题求解，就为有限元法的诞生创造了条件。1943年，Courant发表了第一篇使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的论文；1956年波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飞机结构时系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式；1960年Clough在处理平面弹性问题，第一次提出并使用“有限元方法”(finite element method)的名称。1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元分析的专著。有限元方法的发展历程可参见下图。

有限元发展过程 （曾攀：有限元分析基础教程）

 

虽然，有限元法最初是用来求解力学问题的，但现在有限元已经不再局限于力学问题，一切可以用微分方程描述的问题，如电磁学、热力学、渗流等问题都可以用有限元方法来求解。当今，有限元技术已深入到机车、建筑、大跨度桥梁、精密设备等几乎所有的行业领域内，在优化结构设计、减少成本方面展现出了不容忽视的重要价值。

参考资料：

曾攀：有限元分析基础教程

吴家龙：弹性力学

徐芝纶：弹性力学

公众号：陆姐说（做有限元一定要关注）

公众号：马同学高等数学

来源：力学酒吧

作者：张伟伟