《数值计算》导读：介绍离散方程中对流项及扩散项的物理特性，分析离散方程的迁移性。
从物理过程的角度，对流与扩散现象在传递信息或扰动方面的特性有很大的区别。
扩散是由于分子的不规则热运动所致，分子不规则热运动对空间不同方向几率都是一样，因此扩散过程可以把发生在某一地点上的扰动的影响向各个方向传递。
对流是流体微团的定向运动，具有强烈的方向性。在对流作用下，某一地点扰动的影响只能向其下游方向传递而不会逆向传播。
在离散过程中，对流和扩散的物理特性可以在各自的离散格式中体现出来。
扩散项的离散格式要求能够满足将扰动向四周均匀传递的特性。
这里，我们以一维非稳态扩散方程为例：
其中心差分的显示格式：
采用离散扰动分析法来确定上式传递扰动的特性。
假设开始的物理量的场已经均匀化，即
处处相等，且假定其值为零；
从
时刻开始，在节点
突然有一个扰动，而其余各点的扰动都为零，如下图所示。
将上诉的中心差分格式应用于
时层的
的各个节点。
对于节点
：
其中：
，可以得到：
对于节点
：
其中：
，可以得到：
对于节点
：
如果取
，则
时层的扰动到
时刻变成下图所示：
:
因此扩散项的中心差分格式具有使扰动均匀地向四周传递的特性，并且具有守恒性。
首先要提到迁移性，如果某种离散格式仅能使扰动沿着流动方向传递，则说明此格式具有迁移特性。
我们以一维纯对流方程的非守恒形式为例：
运用离散扰动分析法。
将中心差分格式运用于上式：
采用第二节类似的方法，对于节点
在
时层：
而在
点处：
可以看出，
点的扰动可以同时向相反的两个方向传递，所以对流项的中心差分具有迁移特性。
迎风差分格式的基本思想是迎着来流(即上游)去获取信息以构造的离散格式。
本文采用Taylor展开法中迎风差分的构造方法。
上式为
点一阶导数的向后或向前差分，因为只有一阶截差，因而称为一阶迎风格式。
当
时，对节点
，在
时层在节点
产生扰动对节点
的影响：
因此：
由此可见，采用一阶迎风，扰动仅能沿着流动方向传递，因此该格式具有迁移性。
（1）迁移性是对流项的重要物理特性，不具有迁移性的对流项离散格式所组成的离散方程，会导致震荡解，只能实现条件稳定。
（2）从截差角度而言，虽然中心差分格式是二阶，一阶迎风差分仅为一阶，但对于对流项的物理特性而言，迎风差分更加合理。
（3）在对流作用不强烈的应用情景，对流项采用中心差分可以获得更高精度的解。但如对流作用强烈，计算受网格限制，中心差分格式则会产生震荡解。
（4）一阶迎风差分会使计算结果产生数值扩散(假扩散)。后来学者又构造二阶三阶迎风差分，这里先不作介绍。
公众号及知乎号：BB学长
2021年3月17日 10:15
