近场动力学快速入门程序——杆和板，键型本构及两种求解器（显示求解和隐式求解）

近场动力学入门（1）

一、PD简介

       近场动力学（PD）是2000年Silling博士提出的一种非局部力学理论模型。该理论模型区别于连续介质力学模型，假设物质点之间非连续并以长程力相互作用。Silling博士先后提出键型本构模型、常规态型本构模型及非常规态型本构模型等。之后又有研究者相继提出适用于塑性、粘弹性以及粘塑性情况的PD本构模型。

二、数值算法简介

       PD理论很难求得解析解，所以求解PD基本都是用数值算法。目前求解PD的数值算法可以分为两类，即显示算法和隐式算法。此外，结合离散方式的不同，求解PD的数值算法可以进行如下的划分。

（1）无网格方法或离散粒子法

       该种方法是Silling博士于2005年发表的一篇文章中提出的方法。该种方法将连续的物体离散为许多规则的有体积的质量块，每一个质量块都将质量集中到小块体积的几何中心处，那么待求解的结构就被离散为粒子系统，近场域的积分项自然而然地离散为求和的形式。当完成离散后，就可选择是用显示方法进行求解还是隐式方法进行求解。

       对于动力学问题，常用的显示方法是中心差分法，而对于准静态问题，则一般使用自适应动力松弛法。自适应动力松弛法是Madenci教授于2010年发表的一篇文章中正式推广的一种依然采用中心差分格式的方法。

       对于动力学问题，常用的隐式方法是Newmark法，而对于准静态问题，隐式方法的核心思想则是牛顿迭代法，该方法最核心的地方在于如何求解切线刚度矩阵。总的来说刚度矩阵的获得有解析法和计算法两种。解析法可以参考Silling博士2010年发表的论文，里面提出了模量态的概念，但由于解析法普适性没有计算法好，所以大多数支持无网格隐式求解的开源软件都采用计算法。计算法的思想是给一个非常小的扰动位移，然后用中心差分或向前差分或向后差分代替求导数，从而得到切线刚度矩阵。

       支持离散粒子法的开源软件有Peridgm、LAMMPS等，非开源的有Silling本人开发的EMU。

（2）有限单元法

       有限单元这个词可以形容一种理论模型，但其本身也是一种求解偏微分方程的数值方法。PD理论的平衡方程不是偏微分方程而是积分方程，所以在PD理论最开始时几乎没人用这种数值方法求解。之后陆续有人使用，后逐步有研究者研究针对态型本构的有限元离散过程，这使得该类方法被使用的场景越来越多。以键基本构为例，有限元离散过程将“键”看作杆单元或梁单元，之后，若使用隐式求解方法则可借鉴有限元刚度矩阵的组装过程来获得所需的刚度矩阵。随着，2011年MaxGunzburger教授将不连续伽辽金元应用于PD模型求解不连续问题，即为使用有限单元执行PD模拟断裂指明了道路。

       基于不连续伽辽金元的有限元商用软件有LS-DYNA。

三、本程序包简介

       该文件将《近场动力学入门程序——杆，两种求解器（显示求解和隐式求解），帮助快速入门》和《近场动力学入门程序——板，两种求解器（显示求解和隐式求解），帮助快速入门》两个文件进行了混合。两个算例都采用PM本构模型以及无网格离散方式，且都分别使用了显式求解器和隐式求解器求解。所有程序均采用matlab编写，可直接运行。更为详细的说明可参看文件夹中的word文件。

       所有的程序都经过作者用心的编写特别是隐式求解器，对初学者可以说干货满满，对有基础的研究者也有借鉴之处。