【模态动力学笔记#1】Steady-State Dynamic base Modal Theory

本文说明：abaqus谐响应分析的模态叠加原理，大部分来自abaqus Document的theory 部分。具体公式推导的过程要查《结构动力学》

0. 总括

基于模态的谐响应分析，可以通过扫频的方式求解频率范围内结构的线性稳态响应情况。阻尼是和频率相关的，但模态叠加法只需要知道n个模态阻尼即可推广到其他频率范围（原因详见文内公式）而模态阻尼可以利用模态应变能法求出

1. 谐响应分析的目的

用来求解结构在连续谐波激励下的线性响应.求解稳态动力学响应有三种方法：subspace,direct,modal。base modal的方法是利用前一个分析步提取出来的一系列模态特征计算稳态解。

2. ABAQUS的求解原理

2.1 特征值提取

对于一个具有N个自由度的多自由度系统，可用N个独立的广义坐标描述系统的运动状态：

对于N自由度的系统，一定可以找到N个固有频率 以及相对应的振型 【 】 。 左边的矩阵是 的,等号右边是0，所以 是 的。

所谓振型按我的理解就是共振时，结构的一个形状。用数学方式表示就是一个特定的解向量

将 组装成 Nxn 矩阵 ，其中每一列都包含一个特征模态。

2.2 模态叠加

模态叠加用矩阵形式写为

列矢量 ——模态自由度（待求） 在运动方程中插入模态叠加表达式,代入动力学方程：

左乘 后得到：

此时，原方程组现已从求解 N 个变量简化为 n 个变量，右侧 为模态载荷，是外载荷在每个特征模态上的投影。

上式经过一系列变换后，可以得到投影到mode 上的方程 ：

其中： : 下的广义坐标幅值 : 有关的阻尼(模态阻尼) : 下的无阻尼固有频率 ：广义质量, :是和 有关的激励

2.2.1 激励项

激励被 ,节点等效力实、虚部 定义。投影到 上：

载荷向量是根据其实部 和虚部 编写的，这是Abaqus/Standard 中定义载荷的方式.如果偶用幅值 和相位 表示，则有

其中：

2.2.2 阻尼项

• 直接模态阻尼： 其中:
• Structure Damp：提供了与模态振幅成比例的阻尼力。 其中:
• 瑞利阻尼：定义为 其中， 是瑞利阻尼系数，具体求法见Document. 瑞利阻尼系数可以用来再现：

将阻尼项代入方程(1):

方程的解为：

方程中有三个阻尼项对应于，ABAQUS/CAE中只定义一个，其他的就是0.

其中：

其中：

响应的幅值为：

响应的相位：

如果谐波激励以base motion的形式施加，那么模态载荷如下：

其中， 是结构的质量矩阵，

是base acceleration的实部和虚部。如果施加的是velocity(或者displacement) 则 或( )。

综上所述，根据模态叠加的基本假设：位移写为特征模态的线性组合。方程(1)的解 为

这是外加激励频率为 ，在 下的解，经过模态叠加(如下)后可以得到位移响应(式2)：

其中：

==稳态响应以通过用户指定频率范围的频率扫描形式给出。依次扫描频率点，就可以求出结构的频域响应。==

参考资料

• COMSOL仿真百科
• ABAQUS Theory-稳态动力学分析
• MOOC-振动理论
• 《结构动力学 第二版》作者：R。克拉夫等