案例18-全陶瓷固定义齿的粘弹性分析

本案例演示了使用Tool-Narayanaswamy（TN）移位函数（shift function）的假想温度材料模型来检测全陶瓷固定义齿（FPD）中的残余应力。

主要应用了下列技术和能力：

• 对粘弹性材料使用假想温度模型

• 运行一个瞬态热分析来确定不同时间步的温度分布

• 在结构分析中将热分析结果作为温度载荷加载

• 运行一个非线性结构分析来确定热加载下的残余应力

简介

如果材料有粘性和弹性行为则被看做是粘弹性材料，弹性行为通常与率无关，代表了在载荷下的回复变形，而粘性行为通常与率相关，代表了材料内部的耗散机制。

一大堆材料（如高分子聚合物、玻璃态材料、土壤、生物组织和纺织品）展示出粘性行为，粘弹性材料在高温时展示出粘流体行为，在低温时展示出固体行为。

对于大多数粘弹性材料，温度改变对材料性质的影响与在时间维度改变的影响相类似。这样的材料在热流变学上被认为很简单，一个叫移位函数（shift function）的一般材料性质能够将本构关系用一个参考温度和变换时间简化，shift function能够减小确定材料参数所需要的实验量。

下列移位函数能够代表简单热流变学材料：

1. Williams-Landel-Ferry(WLF)——适合很多高聚物

2. Tool-Narayanaswamy(TN)——适合玻璃态材料

3. 具有假想温度的TN——适合粘弹性材料的熔化和凝固过程，如玻璃和硬高聚物

移位函数能够再现粘弹性材料的大部分性能，对于特定的要求，可以使用用户自定义移位函数。

假想温度是当前玻璃的微观组织处于不平衡态的温度。对于具有假想温度模型的TN移位函数，假想温度用于建模包含一个内在平衡温度的材料，该温度通常与材料的环境温度不同。假想温度向环境温度松弛的方式与粘弹性材料的偏刚度常数和体积刚度常数向长时间弹性常数松弛的方式类似。

通过移位函数，能够计算任何热历程的假想温度的演化。随着假想温度接近实际温度，粘弹性材料变得更加松弛。假想温度经常用于建模粘弹性材料的熔化和凝固过程，如玻璃和硬高聚物。本问题使用固定义齿模型来确定由玻璃贴面在陶瓷芯上凝固后产生的残余应力。

没有金属的陶瓷材料具有外表美观，生物相容性和化学耐久性。这种材料是理想的固定义齿（FPD）材料。在玻璃层制造过程中的热加载会在固定义齿中产生残余应力，由热收缩不协调在贴面和芯材之间造成的大残余应力会导致口腔内部咬合加载下的失效，预测一个固定义齿在热载荷作用下的残余应力的能力对于预测FPD的寿命很有用。

FPD由玻璃贴面和陶瓷核芯组成，如下图：

FPD的三维模型有数字扫描得到，因为原模型得不到，所以在Design Modeler中建立了一个相似的几何模型。

通常玻璃层通过烧结得到，加热到700℃以上高温烧结，然后通过自由对流冷却到室温30℃。开始时，芯材由于高温自由膨胀，然而自由膨胀不会影响到芯材和贴面一起自由对流产生的应力，为了演示目的，假定芯材和贴面有一个均匀的初始温度，陶瓷芯材没有初始的热膨胀。

为了确定芯材和贴面中的热残余应力，需要FPD中的温度分布。对FPD做一个持续时间600s的瞬态热分析，初始温度为700℃，自由对流冷却到室温30℃，在所有自由表面上施加对流换热系数3.4E-5W/mm^2*℃，降低烧结的温度到稳态室温温度。

每60s储存一次温度结果，结果作为接下来非线性结构分析的输入，来确定残余应力。

义齿建模

在热分析中，使用热单元SOLID87对贴面和核芯划分网格。

使用3D面-面接触单元建立接触对，贴面和核芯之间的接触用CONTA174和TARGE170单元。

在热分析中得到的温度分布用于非线性结构分析确定贴面中的残余应力，温度结果作为热载荷在不同时间步读入。

结构分析中需要与热分析中使用相同的网格，因此需要将热单元转变为结构单元（ETCHG）。热单元SOLID87转变为结构单元SOLID187。CONTA174和TARGE170与SOLID187协调，所以这些单元保留，需要的时候将修改接触单元的关键项。

FPD模型包含164041个节点，模型包含110275个3D 10节点四面体结构实体单元（56811个贴面单元和53464个芯材单元），10568个3D 8节点面-面接触单元。

接触建模

   粘接面-面接触对定义了贴面和核芯之间的接触，热分析中建模的接触对通过转化（ETCHG）用作结构分析。

材料属性

瞬态热分析中使用下列材料属性：

热接触传导系数4E-5W/mm^2*℃
静态分析中材料属性如下：

玻璃和液体的热膨胀多项式系数为：

热边界条件和加载

在所有节点上施加初始温度700℃，在所有自由表面上施加对流换热系数3.4E-5W/mm^2*℃

下图显示了FPD表面施加的初始温度和对流：

对于接触对，定义贴面和核芯之间的热接触传导系数为4E-5J/sec*℃。

结构分析边界条件和加载：

在FPD底面中心线上施加合适的位移约束来限制刚体运动。底面节点的竖直位移都约束住，施加热载荷。

温度场在每个载荷步读入，TIME表示每个载荷步的最后求解时间。下图显示了在60s时的位移边界条件和体力：

分析和求解控制

做一个瞬态热分析来确定温度场分布，做一个线性静力学分析来确定残余应力。

热分析中输入：

结构分析中SOLID87单元转换成SOLID187单元，使用带有假想温度的TN移位函数建模粘弹性本构模型，像其他时间-温度叠加模型一样，移位函数能够用TB,SHIFT命令调用。

根据参考文献结果，对于玻璃体积松弛发生要远慢于剪切松弛，因此本问题中不考虑体积衰减的Prony级数输入。

调节时间步

基于参考输入文件的全部分析大约需要3.5小时（8核处理器），你可以根据自己的需要调整时间步长：

1. 大增量步会加快模拟但准确度下降；

2. 小增量步需要更多求解时间，但精度更好。

重要：结构分析部分需要十个求解步，第1步求解（时间1-60s）比剩余的9步需要更多时间去收敛，在第1步求解就增加时间步长不是一个好习惯。

结果和讨论

下面三幅图显示了在不同时间步时FPD贴面和核芯的温度分布和时间600s当温度达到稳态室温时的分布。

下面三幅图显示了在不同时间步时FPD贴面和核芯的Von Mises应力分布。

由于贴面表面的自由对流，贴面和核芯的Von Mises应力随着温度变化。应力对应时间60s、300s和600s的温度载荷，在高温下，贴面与核芯相比Von Mises应力非常高，随着贴面通过转变的冷却，在冷却时间尺度上弹性模量不再松弛，而且由于贴面和核芯的不同热收缩系数，在贴面-核芯界面应力分布出现了跳动，让贴面中的更大Von Mises应力接近室温下的核芯应力。

由于低温下的稳态假想温度（等于实际温度），在界面上的贴面内表面的应力与核芯外表面的应力差别不大。下图显示了在室温下核芯受到的残余拉应力和贴面受到的残余压压力分布。

出现拉应力是因为表面冷却最快并变硬，而贴面的内表面（核芯的外表面）依然在相对高的温度下。当界面处变硬并冷却，施加给表面更多压力。这些残余应力能用于分析口腔内咬合加载下的FPD，并预测FPD的疲劳寿命。

下图显示了参考文献中的最大残余主应力分布，可见与本分析的结果相似。

建议：假想温度松弛系数和应为1.0

参考文献

DeHoff, P. H., Anusavice, K. J., & Gotzen, N. (2006). Viscoelastic finite element analysis of an all-ceramic fixed partial denture. Journal of Biomechanics. 39: 40-48.