系统的复域分析：从增益角度理解传递函数

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一、为什么要在复域对LTI系统进行分析：传递函数的定义

工程中遇到的大部分系统都是LTI系统，一个LTI系统对应着一个线性常系数微分方程。对于这样一个系统，我们通常需要研究其在特定输入作用下的输出性质，其实就是研究常微分方程的解的特点。然而，尽管可以通过卷积计算求出一个LTI系统的零状态解，即：系统的零状态响应等于系统输入与系统单位阶跃响应的卷积，见：

数峰青，公众号：数峰青 单位脉冲函数及卷积（杜哈梅积分）——从常微分方程的解出发理解

然而，要通过卷积公式计算系统响应仍然是比较费劲的事儿。另外，在这样的方法中，我们也对如何改变、优化系统无从下手。

借助于拉普拉斯变换这个强有力的工具，对信号和系统的研究就变得容易起来。拉氏变换的特点是，可以将常微分方程中的微积分环节变为复数域的代数环节（分式的加减乘除），所以在复数域来理解、研究微分方程就简单得多。更重要的是，时间域的卷积经过拉氏变换就变成了复域的乘积，这使得我们可以定义单纯反映系统性质的传递函数，相当于将系统单独拎出来评价、优化。这在设计系统的过程中无疑会大大降低难度、加快设计进程。

以一个弹簧振子系统代表的二阶LTI系统为例。其方程可以写为：

这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。可以通过卷积积分（也叫作杜哈梅积分）来得到方程在零初始状态下的解。然而当F的表达式比较复杂的时候，卷积积分可能会很困难甚至无法得到真正的解析结果。如果对方程两边进行拉氏变换，可以得到：

该式体现了拉氏变换到复域的好处：1、微分环节变成复变量与函数的拉氏变换之间的乘积——一种代数运算；2、可以进行多项式合并。系统的传递函数定义为：

将上上式表示的F(s)代入，并考虑多项式合并，即可得到系统的传递函数为：

依据传递函数，就可以在复数域单独评价、研究系统了。

另外，由于单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换为常数1（收敛域为整个复平面），可以得出：系统的传递函数等于系统对单位脉冲激励的响应（单位脉冲响应）的拉氏变换。将L(δ(t))=1替换G(s)=U(s)/F(s)中的F(s)即可得。

二、从增益角度理解传函

但是本文想从拉普拉斯变换的定义出发，以增益的角度来理解传递函数的内涵。我们在对拉氏变换的总结中，将拉普拉斯变换的本质理解为：

拉氏变换是对函数在t>0域进行指数衰减后的傅里叶变换，就是将原函数f(t)乘以一个单位阶跃函数（使其限定在t>0域）和一个指数衰减函数exp(-βt)（β为衰减因子），再进行傅氏变换

数峰青，公众号：数峰青 拉普拉斯变换总结

我们在对傅氏变换的总结中，理解傅氏变换F(iw)本质上是复振幅密度随频率的变化（在谐波的复数形式下讨论）。F(iw)是一个复函数，其幅值（模）表示信号中各频率分量的相对大小，其幅角表示信号中各频率谐波之间的相位关系，通常习惯上也可以将F(iw)叫做复振幅频谱（郑君里P117）。见（或见郑君里P114）：

数峰青，公众号：数峰青 傅里叶变换总结

本文第一部分已述，系统的传递函数等于系统单位脉冲响应的拉氏变换。结合上面对拉氏变换本质的理解，可以知道，无论是激励和响应的拉氏变换，还是系统的传递函数，都是定义在复域（s=β+iw）的复函数。现在以复数运算规则来审视传递函数的公式：U(s)=G(s)F(s)，可以认为：G(s)本质上是一种对输入信号（定义在s上的）复振幅密度的幅值增益和幅角移动（需要指出，虽然G(s)在计算上等于单位脉冲响应的拉氏变换，但它本质上并不具有响应的拉氏变换的“量纲”，也即不能说G(s)是某个信号在s处的复振幅密度）。为了更好理解G(s)，可以类似上面理解拉普拉斯变换的本质一样，认为它是原系统经过β“衰减”后的“复增益”频谱（瞎丁日扯的啊）。

参考资料：

郑君里《信号与系统上》第三版，高等教育出版社。