基于Python语言求解桁架问题

1．问题描述

起重机的垂直部分和水平部分由铝制成（E=60GPa，截面面积为2 cm²）。对角桁架单元由钢制成（E=200GPa，截面面积为3 cm²）。在如图所示处施加载荷P=7000N。同时支撑节点假设是固定的，所以是没有位移的。我们考虑使用直接刚度法求解。写出每个杆单元的刚度矩阵，再进行装配。

求：结构的变形形状（需要绘图），最大垂直位移、最大压应力和最大拉应力的大小和位置，以及两个支撑节点上的约束力。

2．理论分析

为了解决这个复杂桁架结构。取每个杆为杆单元，写出其刚度矩阵

得位移、应力、应变、以及最大应力等。

3．桁架单元和节点的编号以及结点坐标的定义

l 黑色为节点坐标

l 红色为节点编号

l 紫色为单元编号

4．结果与数据

最大垂直位移为0.4468m，23节点

最大压应力为-210MPa，18单元 

最大拉应力为175MPa ，19单元

支撑点1支座反力水平分量为0N，竖直分量为-35KN。

支撑点2支座反力水平分量为0N，竖直分量为42KN。

5．总结

通过使用有限元法解决桁架问题，我们可以了解有限元法的原理，掌握python的编程方法和操作环境以及将问题模块化处理的思路。将问题的已知条件转化python语言，并列出边界条件和协调性条件，计算出所求未知物理量。有限元法的基本思路是首先将系统离散化处理，对于该问题的桁架结构， 是将其分解为杆单元和节点，这一步决定了有限元方法的精确度。利用公式单元刚度矩阵，并根据几何关系利用直接刚度法，将每个单元装配在系统刚度矩阵中。题中几何关系所示的边界条件是支撑节点的位移为零，以及外加载荷节点的外力是7000N。程序将方程解决后即可的出未知节点的位移、应变以及支座反力。