有限元分析的底层逻辑是什么？

引言

在复杂函数的近似方法中，常见的有两种策略：

• 全域展开：例如，采用傅里叶级数展开。这种方法使用复杂的基函数在整个定义域上进行展开，能够高效地逼近复杂函数。然而，所采用的基函数通常较为复杂。

• 分段函数组合：例如，采用分段线性函数的连接。这种方法将定义域划分为多个子域，在每个子域上使用简单的基函数进行逼近。虽然基函数简单，且在子域上定义，但为了获得较好的逼近效果，可能需要使用大量的分段，导致计算工作量较大。 [图片] 有限元方法正是基于第二种策略，即通过将复杂问题划分为多个简单的“单元”，在每个单元上使用简单的基函数进行逼近，从而实现对复杂函数的有效近似。所以有限元分析的最主要内容，就是研究单元。

有限元分析的基本流程

具体而言，有限元分析的基本步骤包括：

1. 选择合适的单元类型

根据问题的维度（1D、2D或3D），选择不同的单元类型。例如，1D问题可以使用杆单元或梁单元，2D问题常用三角形或矩形单元，3D问题可以使用四面体或六面体单元等。这也是网格划分在有限元分析中比较重要的原因。

2. 建立单元的刚度矩阵

每个单元都有自己的刚度矩阵，它是基于单元的几何特征、材料属性和选择的插值函数（例如，线性、二次等）来构造的。刚度矩阵通常是通过能量原理来推导的，常用的方法有虚功原理、最小势能原理等。通过这些原理，可以导出单元内的平衡方程，从而得到单元的刚度矩阵。

下面简要介绍几种常见单元的刚度矩阵推导方法:

2.1 1D 单元（如杆单元）

对于二维问题，常用的单元包三角形单元（如3节点三角形单元）和矩形单元。

对于1D问题，常用的单元是杆单元（杆、梁等），它的刚度矩阵推导可以通过虚功原理来实现。 假设杆单元是线性的，材料为均匀弹性材料。 步骤：

• 位移场：假设单元内的位移场是线性的，可以表示为：

𝑢(𝑥)=𝑁1(𝑥)𝑢1+𝑁2(𝑥)𝑢2

其中 𝑁1(𝑥)

 和 𝑁2

是形函数，𝑢1

和𝑢2

分别是单元两端的节点位移。那什么是形函数呢？，可见最后面附录说明。

• 应变能：通过应变能公式

𝑊=12∫𝐿𝜎(𝑥)𝜖(𝑥)𝑑𝑥

计算， 其中应变𝜖(𝑥)

和应力 𝜎

通过材料的杨氏模量 𝐸

和截面面积𝐴

表示。

• 刚度矩阵：将上述应变能公式转化为刚度矩阵形式，得到单元刚度矩阵：

𝑘=𝐸𝐴𝐿(1−1−11)

其中，𝐸

是杨氏模量, 𝐴

是截面面积，𝐿

是单元的长度。

2.2 2D 单元（如三角形单元）

三角形单元（线性单元）

假设一个简单的三角形单元有三个节点，节点1、节点2和节点3。其刚度矩阵的推导过程也采用能量原理。 步骤： - 位移场：假设每个节点的位移是线性插值的。位移场可以写作：𝑢(𝑥,𝑦)=𝑁1(𝑥,𝑦)𝑢1+𝑁2(𝑥,𝑦)𝑢2+𝑁3(𝑥,𝑦)𝑢3

其中𝑁1(𝑥,𝑦)

 ，𝑁2(𝑥,𝑦)

 ，𝑁3(𝑥,𝑦)

是形函数。 - 应变能：应变能是通过单元内的应变能密度（与应力和应变的关系）计算的。由于三角形单元涉及到二维应变，通常通过应变-位移矩阵来计算。 - 刚度矩阵：经过推导后，三角形单元的刚度矩阵为：𝑘=∫𝐴𝐵𝑇𝐷𝐵,𝑑𝐴

其中，𝐵

是应变-位移矩阵，𝐷

是材料的刚度矩阵，𝐴

是单元的面积。

三角形单元刚度矩阵（简化版）

对于简单的线性三角形单元，刚度矩阵一般可以通过以下积分公式推导：

𝑘=𝐴4(120−12012−12−12−1212)

其中𝐴

是三角形单元的面积。

2.3 3D 单元（如四面体单元和六面体单元）

在三维问题中，常用的单元有四面体单元和六面体单元。

四面体单元 四面体单元的推导较为复杂，通常需要通过形函数和积分来获得刚度矩阵。这里给出大致的推导思路。 步骤：

- 位移场：四面体单元的位移场是通过节点的位移进行插值，通常是多项式形式的。

- 应变能：通过应变-位移关系，计算应变能。应变-位移矩阵 𝐵

是由形函数的导数组成的。

- 刚度矩阵：同样利用应变-位移矩阵和材料刚度矩阵 𝐷

，通过积分得到四面体单元的刚度矩阵。

四面体单元的刚度矩阵一般较为复杂，具体计算通常依赖数值积分（例如高斯积分）。

每种单元的刚度矩阵的推导方法都是基于能量原理（如虚功原理、最小势能原理）或通过变分法进行的。1D单元的刚度矩阵推导较为简单，2D和3D单元则需要根据单元的具体几何形状和物理特性（如材料性质、形函数等）进行推导。

3. 单元刚度矩阵的组装

在构造出各单元的刚度矩阵之后，需要将它们根据结构中单元之间的连接关系组装成整体的刚度矩阵。组装过程通常依据节点的连接情况，将每个单元的刚度矩阵“嵌入”到整体的刚度矩阵中。

4. 整体刚度方程

组装完成后，得到的整体刚度方程为一个线性方程组，通常形式为

𝐾⋅𝑢=𝐹

其中 𝐾

是整体刚度矩阵，𝑢

是节点位移向量， 𝐹

 是外力向量。通过解这个方程，就可以得到结构的位移解。

5. 边界条件的施加与解算

在整体刚度方程中，施加边界条件（例如，固定、力等），并解这个方程，从而得到结构的位移解，再通过位移解反求应力等其它物理量。

6. 求解方程组（Solution of the Equations）

使用数值方法（如高斯消元法、迭代法等）求解全局方程组，得到各节点的未知量（如位移、温度等）。求解过程的目的是获得系统的响应，进而分析其性能。

7. 后处理（Post-Processing）

对求解结果进行分析和可视化，如计算应力、应变等，评估结构或系统的性能。后处理的目的是从计算结果中提取有用信息，支持工程决策。

总结

通过以上步骤，有限元分析能够将复杂的物理问题转化为一系列简单的数学问题，从而实现对复杂工程问题的有效求解。

附录：

形函数（Shape Function）是有限元分析中的一个非常重要的概念，广泛应用于单元的刚度矩阵、应力、应变等计算中。形函数的作用是将每个单元的局部坐标系（如节点位移）映射到全局坐标系（整个结构的位移场），通过这种映射，能够描述单元内部任意位置的物理量（如位移、应力等）在有限元模型中的变化。

形函数的作用

1. 表示节点间的位移关系：
2. 形函数用来表示单元内的任意点的位移、应变等物理量如何与单元节点的位移、应变等相关。形函数通过节点位移的线性或高次插值，表示单元内部不同位置的位移、应变或应力。
3. 构建单元刚度矩阵：
4. 在有限元分析中，单元刚度矩阵的推导依赖于形函数。形函数决定了应变-位移矩阵的形式，进而影响单元的刚度矩阵。
5. 映射局部坐标到全局坐标：
6. 每个单元的位移是基于局部坐标系的，而形函数可以将这些局部坐标系的位移转换到全局坐标系，使得整个结构的分析可以统一在全局坐标系中进行。

形函数的种类

形函数的形式和种类通常与单元的维度和类型相关。以下是一些常见的形函数类型：

1. 1D 单元的形函数
2. 对于1D单元（如杆单元或梁单元），形函数通常是线性的，即每个节点的位移对单元内部的任意点的位移进行线性插值。

例如，对于一个线性2节点杆单元，其形函数𝑁1

和 𝑁2

可写为：

𝑁1(𝑥)=𝐿−𝑥𝐿,𝑁2(𝑥)=𝑥𝐿

其中L是单元长度，𝑥

是单元内部的任意位置。节点1和节点2的位移分别通过这两个形函数来插值。

2D 单元的形函数

对于2D单元（如三角形单元或四边形单元），形函数可以是线性的、二次的等。比如，线性三节点三角形单元的形函数可以表示为：

𝑁1(𝑥,𝑦)=1−𝑥−𝑦,𝑁2(𝑥,𝑦)=𝑥,𝑁3(𝑥,𝑦)=𝑦

其中(𝑥,𝑦)

是局部坐标，𝑁1,𝑁2,𝑁3

是对应节点的形函数。 对于更高次的单元（例如二次三角形单元或四边形单元），形函数会包含更多的项，能更精确地插值单元内部的位移场。

3D 单元的形函数

对于3D单元（如四面体单元或六面体单元），形函数通常是多项式的，表示每个节点的位移如何在单元内部进行插值。例如，四面体单元的形函数形式通常为：

𝑁1=16(1−𝜉−𝜂−𝜁),𝑁2=16(1+𝜉),𝑁3=16(1+𝜂),𝑁4=16(1+𝜁)

其中𝜉,𝜂,𝜁

是局部坐标。

形函数的关键特性

形函数值在节点处为1：

在每个节点处，形函数的值为1，其他节点的形函数值为0。即对于一个三节点单元，节点1的形函数𝑁1

在节点1处为1，在其他节点处为0。这样，单元内任意位置的物理量可以通过节点值进行插值。

形函数在单元内的插值性质：

形函数是单元内部物理量变化的插值函数，能够将节点的物理量（例如位移）转化为单元内部的物理场（例如位移场）。

形函数的连续性：

形函数在单元内通常是连续的，尤其是线性单元，其形函数在单元的边界和内部都是连续的。对于高阶单元，形函数在节点间的变化更加平滑，能够更好地描述非线性变形。 形函数是有限元分析中描述单元物理量分布的基础工具，它决定了单元的刚度矩阵、质量矩阵等的计算方式。通过形函数，可以将单元内的物理量（如位移、应力、应变等）与节点的物理量（节点位移、节点力等）之间建立数学关系，从而解决整个结构的分析问题。