ANSYS Workbench模拟齿轮箱变速器齿轮啮合

1 综述

1.1 有限元分析基本理论

1.1.1 有限元法简介

在工程科技的不断进步中，固体力学作为核心学科，对于飞行器、船舶、车辆、机械装备、水坝、桥梁和建筑物等工程结构的设计分析具有至关重要的作用。自20世纪40年代以来，科研人员已经提出并发展了多种理论方法，包括变分法、差分法和松弛法等，为简单结构模型的分析提供了精确的解析解或数值解。然而，面对日益复杂的实际工程结构，这些传统方法往往难以提供足够精确的分析结果。

在实际工程应用中，设计者通常会通过近似分析对具体工程结构进行初步设计，然后结合经验与已建工程的类比来确定最终设计方案。为确保结构的安全性，还会依据模型实验结果适当提高安全系数。

随着20世纪40年代中期大型计算机的出现，科研人员开始利用计算机对杆件结构力学中的力学和变位法的基本方程进行解析，推导出了矩阵力法和矩阵位移法。在此基础上，20世纪50年代中期，有限单元法（FEM）应运而生。

有限单元法将连续介质离散成一系列单元格，将无限自由度问题转化为有限问题，并利用计算机进行求解。这种方法适用于分析形状复杂的结构，因此迅速受到科研界的广泛关注，并迅速拓展到固体力学的各个分支领域，如流体力学和热传导学等。如今，有限元法已成为工程计算中的重要方法。

有限元法是一种高效且实用的计算方法。在工程计算领域，通常需要求解各种微分方程，但大多数微分方程的精确解并不容易获得。通过有限元法将微分方程离散化后，可以编写相应程序并通过计算机进行求解，从而得到微分方程的近似解，其精度可在一定程度上无限接近于精确解。这为微分方程的求解提供了一个高效率、高精度的计算方法。

最初，有限元法的理论发展基于变分理论，因此更多地应用于物理场中。然而，到了20世纪60年代，科研人员在流体力学中通过对余数法中的迦辽金法（Galerkin）进行加权运算或最小二乘法运算时也得到了有限元方程。这使得有限元法能够应用于任何由微分方程描述的各类物理场中，而不再要求这些物理场必须与泛函的极值问题有联系。

1.1.2 有限元法的特点

有限元法（FEM）已成为解决工程和科学问题的主流数值分析工具。相较于其他数值方法，有限元法展现出多个显著优势：

（1）对于实际工程中遇到的各种复杂形状和非均质材料构成的实体结构，有限元法能够提供精确的分析。这意味着，无论是流体动力学中的复杂流场，还是复合材料的应力分布，FEM都能够有效地模拟和预测。

（2）FEM能够模拟复杂的材料本构关系、施加的荷载以及边界条件。例如，岩土工程中的渗流问题、初始应力和应变场，以及混凝土结构中的不均匀温度场等，这些在实际物理模型中难以模拟的现象，都可以通过有限元法得到有效处理。

（3）有限元法在结构动态分析方面具有独特优势。在过去，科研人员主要针对静力学问题进行精确求解，而对动力学问题的处理则相对困难。有限元法的出现极大地改善了这一状况，使得结构动力学问题的精确求解成为可能。

（4）随着预处理和后处理技术的不断进步，FEM能够对多种设计方案进行比较分析，并通过图表及时展示计算结果。这不仅有助于优化设计方案，还提高了工程设计的效率和准确性。

1.1.3 有限元法分析过程

有限元分析的求解过程可概括为三个主要步骤：

步骤一：网格剖分（Meshing） 在这一步骤中，待求解的连续体区域被划分为有限数量的元素，形成一个离散的集合。理论上，这些元素可以采取任意形状。对于二维问题，常用的元素类型包括三角形和矩形；而在三维问题中，则通常采用四面体或多面体元素。每个元素的顶点称为节点（或结点）。

步骤二：元素分析（Element Analysis） 在此阶段，进行局部的分片插值。这意味着在每个离散元素内，利用特定的形状函数和节点上的函数值，对元素内任意点的未知函数进行插值展开。这可能涉及建立线性或非线性插值函数，以便在局部层面上近似真实的物理行为。

步骤三：方程求解（Solution of Variational Equations） 将连续体离散化为一系列元素后，这些元素被进一步组织成组，并赋予相应的函数值。这样，可以解决实际工程和物理问题。通过这种方式，连续体被转化为一个代数方程组，其中包含了有限个能量方程和加权余量方程。这个方程组的解即是有限元法的解。

有限元法的核心在于将整个连续体离散化，将其分解为有限的单元集合。例如，对于一个杆系结构，离散化后的每个单元代表一个单独的杆件。类似地，对于一个连续体，离散化最终产生的单元可能包括三角形、四边形、六面体等各种形状。每个单元的物理场函数由简单的场函数组成，这些场函数仅依赖于有限个节点参数。当这些单元场函数组合在一起时，它们能够近似表示整个连续体的物理场函数。

最终，通过求解由能量原理和加权残差法导出的代数方程组，获得了有限元法的数值解。这个解是对原始连续体问题的近似，其精度取决于网格剖分的细密程度和所采用的插值函数的类型。

1.2 Ansys有限元分析软件

1.2.1 Ansys软件特点

在ANSYS 7.0版本问世之前，ANSYS公司致力于研发其核心产品ANSYS。这一版本通过其仿真效果的卓越和效率的显著，赢得了工程界的广泛赞誉。然而，尽管取得了如此成就，该版本在仿真模拟操作方面存在明显的不足，即用户必须通过编写复杂的程序才能进行仿真，这限制了其在工程领域的普及应用。

随着ANSYS公司成功推出ANSYS Workbench这一新型号，局面发生了转变。ANSYS Workbench以其创新的用户界面和工作流程，简化了仿真过程，极大地提升了用户体验，因此迅速被广泛应用，其普及程度甚至超越了传统的ANSYS经典版本。目前，ANSYS Workbench已经发展到24.0版本，继续引领着行业的进步。

ANSYS Workbench作为一个先进的仿真平台，具备分析和模拟复杂机械系统的能力。它涵盖了结构静力学、结构动力学、刚体动力学、流体动力学、结构热力学、电磁场分析以及多物理场耦合分析等多个领域。这些功能使得工程师能够对机械系统进行全面的性能评估，从而优化设计，提高产品的可靠性和性能。

在结构静力学方面，ANSYS Workbench能够模拟材料在静态载荷下的响应，包括应力、应变和位移等参数。在结构动力学分析中，该平台可以模拟结构在动态载荷下的行为，如振动和疲劳。刚体动力学分析允许工程师研究物体在受到力和扭矩作用时的运动情况。

流体动力学模块使工程师能够模拟液体或气体在各种条件下的流动行为，这对于设计高效的流体传输系统至关重要。结构热力学分析则关注材料在热载荷下的行为，包括热膨胀和热应力。

电磁场分析功能为电气和电子系统的设计和优化提供了强大的工具，而耦合场分析能力则允许工程师研究多个物理场之间的相互作用，这对于解决实际工程问题尤为关键。

总之，ANSYS Workbench通过其强大的仿真功能和用户友好的界面，已经成为工程领域中不可或缺的工具，帮助工程师在设计、分析和优化复杂机械系统时做出更加精确和有效的决策。

1.2.2 Ansys的具体运行过程

ANSYS Workbench的仿真分析流程可以概括为以下四个主要步骤：

（1）前处理阶段：

这一阶段的核心任务是为仿真分析设定基础。首先，需要确定分析类型，这可能包括静力分析，用于评估结构在恒定载荷下的行为，或模态分析，用于确定结构的自然频率和振型。接下来，选择合适的单元类型是至关重要的，例如壳单元适用于薄壁结构，而实体单元适用于三维实体。此外，模型类型的选择也在此阶段进行，区分零件和组件有助于管理复杂的装配体。

（2）建模与网格划分阶段：

在这个阶段，将创建或导入几何模型，这是仿真的基础。几何模型的准确性直接影响到分析结果的可靠性。随后，定义材料属性是确保仿真反映真实情况的关键一步。材料的性质，如弹性模量、泊松比和热膨胀系数等，需要根据实际应用场景进行设置。最后，网格划分是将连续的几何模型离散化为有限元模型的过程，网格的质量直接影响到求解的精度和效率。

（3）荷载与约束施加以及求解阶段：

在这个阶段，工程师需要在模型上施加相应的荷载和约束条件，这些条件模拟了实际工作环境中结构所承受的外部影响。荷载可以是力的分布，约束可以是固定支撑或滑动界面。施加完这些条件后，进行求解运算，软件将使用有限元方法计算结构的响应。

（4）后处理与结果验证阶段：

最后阶段涉及对求解结果的分析和验证。工程师将检查各种物理量，如应力、应变、位移等，以评估结构的性能和安全性。结果的可视化呈现对于解释数据至关重要。此外，结果的正确性需要通过与实验数据或其他仿真工具的结果对比来验证，以确保仿真分析的可靠性。

2 齿轮静力学分析

2.1 静力学分析概述

有限元分析根据结构受到的载荷是否随时间变化分为静力学分析和动力学分析。静力学分析主要用于分析结构在不随时间变化的载荷作用下的响应，例如恒定的重力、压力或其他持久作用力。这种分析假设结构的反应是瞬间发生的，不考虑时间因素和惯性力的影响，即：

式中，为单元内的位移向量；

为插值函数矩阵；

为单元内节点的位移向量。

根据弹性力学的基本理论，单元内的位移与应变的关系如下：

式中，为单元内的应变；

为应变矩阵。

根据弹性力学方程，单元内应变与应力的关系则为：

式中，为单元内任一点应力；

为弹性矩阵；

根据虚位移原理，节点位移与其节点力的关系为：

式中，为单元中的节点力；

为单元中的刚度矩阵。

在施加了相应的边界条件后，可以得到一个非奇异的刚度矩阵，进而可以求解出单元节点的力和位移，并进一步近似计算连续求解域的应力。静力学分析能够深入理解结构在已知静力载荷下的响应，包括位移、应力和应变等，通过静力学分析，可以确定模型在外部影响下的应力、应变和形变的变化规律。在分析过程中，载荷的大小和方向是恒定的，因为在静力学分析中，假设模型受到的作用力和输出结果不会随时间变化。在分析中，可以选择多种不同的载荷，如温度、位移、惯性力和压力等。

2.2 齿轮强度分析

（1）材料参数：采用结构钢进行仿真

（2）模型导入：将catia模型转成xt格式导入到ansys中

（3）网格划分：由于涉及到接触，因此采用高阶四面体单元进行网格划分，在齿轮处对网格进行加密，设置面网格尺寸为2mm。

（3）接触设置：设置主动轮和从动轮，分别将几何体接地回转进而实现齿轮转动。

（4）设置齿轮摩擦：设置摩擦系数为0.15，法向刚度设置为因数，法向刚度因数为1，更新刚度设置为每次迭代，界面处理设置为调整接触。

（5）载荷条件：选择连接副载荷，施加旋转角度为10°

（5）变形云图

最大变形云图如下所示，可以看到最大变形为8.2675mm，位移主动轮的齿轮面上，而回转约束处的变形最小，几乎为0.

3 齿轮模态分析

模态分析在机械结构振动特性分析中扮演着关键角色。它能够揭示机械结构的固有频率、振动模态，以及相应的振幅和相位等核心数据。这些信息对于机械结构振动特性的设计和优化至关重要。以高速旋转机械设计为例，避免固有频率与旋转频率共振是必要的，因为共振可能导致机械结构的不稳定甚至损坏。通过计算机械结构各个振动模态的振幅和相位，我们能对机械结构的振动特性进行评估，包括振幅分布、振动模态之间的耦合情况等。模态分析不仅用于评估，还能预测特定激励条件下，机械结构的振动反应，进而为机械结构的动态响应控制和故障诊断提供指导。总而言之，模态分析为我们深入理解并处理机械结构的振动特性提供了重要支持，有助于机械结构的设计、优化，以及故障的识别和诊断。

3.1 模态分析概述

无论简单或复杂，都可以是具有特定惯性和弹性特性的单一部件或由多个部件组成的装配体。这些结构涵盖了广泛的范畴，包括桥梁、建筑物、船舶、飞机、汽车以及其他各种设备。它们共同的特点是，每个机械结构都可视为由众多组件构成的整体，并具有影响其性能和行为的惯性和弹性属性。

机械结构的振动特性，即它们的振动和响应行为，是由这些惯性和弹性特性决定的。振动对机械结构的影响非常显著，因为它直接关联到结构的寿命、可靠性、安全性，以及工作精度和效率。过度的振动不仅可能导致机械性能下降，还可能引发结构损坏，从而影响整体安全。

因此，在设计机械结构时，设计师必须考虑外部因素对结构可能造成的影响，并采取措施来控制由这些外界干扰引起的振动幅度。这通常涉及应用合理的结构设计和采用有效的振动控制策略，以确保机械结构能够在各种条件下正常运行，并保持长期的稳定性和性能。通过这样的设计和控制措施，可以优化机械结构以抵御振动相关的风险，确保其持续可靠的性能。

模态分析在机械设备的设计、运行以及故障诊断中起着至关重要的作用。它不仅可以确定机械设备的固有频率和振动模态以避免共振现象，而且还可以提供振动幅度等关键信息来指导结构的优化。

以下是对模态分析的一些具体应用方面的总结：

1.评估和优化设计：模态分析可以在新产品设计阶段预估结构的动态特性，帮助设计师进行振动特性的优化设计，从而提高产品的性能和可靠性。

2.故障诊断和预报：通过对机械结构进行模态分析，可以识别出结构系统的载荷并诊断及预报潜在的结构故障。

3.噪声控制：利用模态分析可以有效地控制结构的辐射噪声，提高机械设备的工作环境质量。

4.动力学频域分析：作为动力学频域分析的基础，模态分析通过计算振动频率和振型，为深入理解结构的动态行为提供了基础数据。

5.改善稳定性：模态分析有助于发现机械设备存在的问题，如共振或应力集中，从而在设计和制造过程中采取措施以提高设备的稳定性。

3.2 模态分析理论基础

一个结构系统的动力学行为可以准确地通过模态参数来详尽地刻画，这些模态参数包括固有频率、模态质量、模态刚度以及模态形状，他们共同构成了系统动力特性的基础。当一个结构受到外部激励，并以其某一阶次的固有频率进行振动时，该结构上的每一点将围绕其静力平衡位置产生位移。这些位移并非随机分布，而是以一种特定的比例关系出现。换言之，结构上的每个点会以一定的振型（即模态）进行同步振动，这种振型可以通过模态向量来数学表达。模态向量不仅提供了结构在特定模态下各点的相对位移信息，而且还反映了整个结构的振动形态。

模态能够描述结构的固有属性，模态振型描述了结构在特定模态下的振动形态，而固有频率是结构在没有外部激励时的自然振动频率。阻尼比则量化了结构振动衰减的速度，与系统的能量耗散机制有关。在实际的工程应用中，这些模态参数可以通过实验测试或数值计算方法来确定，这一过程统称为模态分析。

模态分析的核心在于利用坐标变换将复杂的多自由度振动微分方程转换为一系列简单的单自由度问题。这种转换通过模态矩阵实现，其列向量即代表模态振型。模态矩阵不仅简化了数学处理过程，而且提供了对结构动态行为的直观理解。

通过模态分析，能够识别出结构在各个阶次下的关键模态特性，包括模态振型、阻尼比和固有频率。这些信息对于预测结构在受到外部激励时的振动响应至关重要。此外，模态分析还可以帮助工程师评估结构是否可能因共振而遭受破坏，从而在设计阶段就避免潜在的风险，确保结构的安全性和可靠性。

如某线性系统属于有阻尼的、自由度为N维，那么在物理坐标系下的 微分运动方程可以表示成：

式中：是方程的质量矩阵；

为方程中各点的位移响应向量；

为方程中的阻尼矩阵；

为方程中各点的速度响应向量；

为方程中的刚度矩阵；

多数情况下刚度矩阵和质量矩阵属于实数对称矩阵，而阻尼矩阵不是实数对称矩阵，因此方程属于耦合方程。

当为0时，如果不考虑阻尼的作用，那么能够获得不存在阻尼结构的自由振动方程，如式所示。

当阻尼矩阵，带入式即可求解结构特征方程，得：

把式带入到，通过傅里叶变换转换为模态坐标下的运动方程：

利用模态坐标带入对其解耦，即可得到：

利用振型矩阵将质量和刚度矩阵进行对角化：

将式前乘以则可以得到：

经过结构的方程则可写为：

任意坐标系下为：

根据线性振动系统的运动方程中质量矩阵、刚度矩阵对整体结构的振动特性求解，经过归一化处理则可以得到振型、固有频率以及阻尼比。

质量矩阵为：

刚度矩阵为：

运动方程则写为：

其中：

3.3 齿轮模态分析结果

除了边界条件有所改变，其余不变，设置求解阶数6.

（1）边界条件：设置主动轮齿轮内环固定支撑。

（2）模态振型

一阶模态振型：一阶模态振型如下图所示，振型为扭转振型，一阶固有频率为18117Hz。

二阶模态振型：一阶模态振型如下图所示，振型为弯曲振型，一阶固有频率为21438Hz。

三阶模态振型：三阶模态振型如下图所示，振型为弯曲振型，一阶固有频率为、21443Hz。

四阶模态振型：四阶模态振型如下图所示，振型为扭转振型，一阶固有频率为22426Hz。

五阶模态振型：五阶模态振型如下图所示，振型为弯曲振型，一阶固有频率为21438Hz。

六阶模态振型：六阶模态振型如下图所示，振型为弯曲振型，一阶固有频率为21438Hz。

4 齿轮瞬态动力学分析

4.1 瞬态动力学分析基本理论

瞬态动力学分析是一种用于计算结构在随时间变化的载荷作用下的动力学响应的方法。在Ansys中，这种技术可以用来计算结构在稳态载荷、瞬态载荷和简谐载荷下的位移、应变和应力随时间的变化。在进行瞬态动力学分析时，需要考虑惯性力和阻尼的影响，这些因素与载荷和时间的相关性有关。如果不考虑惯性力和阻尼，则可以使用静力学分析来代替瞬态动力学分析。对于线性结构，它的瞬态动力学平衡方程如下：

在Ansys有限元分析软件中，式共有三种求解方法分别为：完全法、模态叠加法和缩减法。完全法和缩减法采用直接积分求解瞬态动力学平衡方程。而模态叠加法则使用坐标转换解耦后开始求解。

4.2 模态叠加法

针对模态叠加法，式中的可写为：

式中：

为节点力随时间变化量；

为关于矢量载荷的比例因子；

是在模态分析中的矢量载荷。

利用模态坐标表示节点位移可通过下式得到：

式中，是第阶模态振型；

是所要提取的模态数量。

根据式可得利用模态叠加法计算瞬态动力学问题首先需要进行模态分析，因为在节点位移中包含了模态振型。

将式带入可得：

在式左乘模态振型可得：

模态的正交条件如下：

将正交条件带到式则为：

利用质量矩阵进行归一化处理，得到系数为：

的系数为：

的系数为：

同样可以将其写为：

利用式、、、带到式中，得到：

缩减法用于模态分析时，涉及到主自由度的选取。因为缩减法通过减少模型的自由度数简化计算，如果选用QR方法进行模态分析，模态坐标系下的运动微分方程写为：

4.3 直接积分法

在ANSYS中，隐式方法Newmark和HHT用于求解瞬态动力学问题。这两种方法都基于有限差分法，在一个时间间隔内对位移、速度和加速度进行积分：

式和式中，和是Newmark积分参数。

利用时刻的控制方成，计算下一时刻的位移为：

将式和式重新组合，可得：

其中：、、、、、、。

将式带到，根据式、、得到的表达式：

求出，速度和加速度可用式和式所求，对于初始施加的节点的速度或者加速度可以用位移约束并根据式计算所得。

根据Ziekiewicz的理论，利用Newmark方法求解瞬态动力学问题时，要实现无条件稳定，需要满足特定的条件。这些条件通常涉及到时间步长（stepT）和Newmark积分参数。

输入的Newmark参数根据下式：

其中为振幅衰减因子。

根据式和式发现无条件稳定可以表达为：

只要，求解即是稳定的。

而HTT方法则是下式方程：

式中：、、、。

在HTT方法中，共有四个参数，分别为：

这四个参数可直接输入，但考虑到二阶系统的无条件稳定以及时间积分的准确性，四个参数应该符合如下关系。

将式和带入得到：

通过对比式和式，可以发现HTT方法是将两个连续步长的线性组合实现瞬态动力学的方程平衡。

当给定幅值衰减因子后，其余的四个参数随之而定，分别是：

或者可写为：

4.4 齿轮瞬态分析结果

相比静力学分析，加热条件温度，看瞬态分析结果，施加旋转角度30°，设置分析步为10步，开启自动时步功能。

4.4.1 22℃下瞬态分析结果

（1）材料参数：采用结构钢进行仿真

（2）模型导入：将catia模型转成xt格式导入到ansys中

（3）网格划分：由于涉及到接触，因此采用高阶四面体单元进行网格划分，在齿轮处对网格进行加密，设置面网格尺寸为2mm。

（3）接触设置：设置主动轮和从动轮，分别将几何体接地回转进而实现齿轮转动。

（4）设置齿轮摩擦：设置摩擦系数为0.15，法向刚度设置为因数，法向刚度因数为1，更新刚度设置为每次迭代，界面处理设置为调整接触。

（5）施加旋转角度30°，设置齿轮温度为22摄氏度，参见下图所示。

（6）载荷步设置，设置为子步，求解步数为10步。

（7）计算结果

最大变形云图如下图所示，可以看到主动轮最大变形为21.648mm，位于主动轮的齿轮面处，从动轮的最大变形为21.648mm，位于从动轮的齿轮面处，而设置回转的齿轮内环处的变形几乎为0，最大变形从齿轮面向内齿轮逐渐递减。

最大应力云图如下图所示，可以看到主动轮最大应力为277.22Mpa，位于齿轮面的啮合处，而未啮合处齿轮应力为0。

4.4.2 100℃下瞬态分析结果

（1）材料参数：采用结构钢进行仿真

（2）模型导入：将catia模型转成xt格式导入到ansys中

（3）网格划分：由于涉及到接触，因此采用高阶四面体单元进行网格划分，在齿轮处对网格进行加密，设置面网格尺寸为2mm。

（3）接触设置：设置主动轮和从动轮，分别将几何体接地回转进而实现齿轮转动。

（4）设置齿轮摩擦：设置摩擦系数为0.15，法向刚度设置为因数，法向刚度因数为1，更新刚度设置为每次迭代，界面处理设置为调整接触。

（5）施加旋转角度30°，设置齿轮温度为22摄氏度，参见下图所示。

（6）载荷步设置，设置为子步，求解步数为10步。

（7）分析结果

最大变形云图如下图所示，可以看到主动轮最大变形为21.658mm，位于主动轮的齿轮面处，从动轮的最大变形为21.658mm，位于从动轮的齿轮面处，而设置回转的齿轮内环处的变形几乎为0，最大变形从齿轮面向内齿轮逐渐递减，由于温度的影响，导致热膨胀，进而使得齿轮面变形增加。

最大应力云图如下图所示，可以看到主动轮最大应力为948.58Mpa，位于齿轮面的啮合处，而齿轮内环的应力为210.85Mpa，由于热膨胀的影响，导致应力有所增加，因此齿轮正常运转时，应当注意齿轮的工作温度。