动态多模分析和调Q运转模拟

1．介绍

动态多模分析的目的是进行激光多模和激光调Q运转分析。激光腔内横模结构近似为HG和LG模式。HG和LG模式是不同本征频率对应的正交特征函数，我们假设模式之间的横模振荡互不干扰，因此模式之间的短时干涉影响可以忽略。基于这个假设，起振模式中的反转粒子数密度和光子数是由下面的以时间为变量的3D速率方程描述：

方程2-3中的参数如下

方程2-3用于四能级激光系统。准三能级系统的多模分析还在研究中。三能级（泵浦能级）和能级2（激光上能级）之间，能级1（激光下能级）和能级（基态能级）之间的快速衰减速率已被假定。

在前面的章节中有详细的关于计算激光输出功率，Q开关运转和光阑影响的参数和方程之间的数学关系的介绍。或者，可以点击LASCAD主窗口主菜单的“Help DMA Code”。

接下来有一个关于DMA编码的指南。它显示了怎样比较合理地定义DMA GUI中单个输入参数来模拟CW多模操作，Q开关运转和光阑的影响。

2．激光器连续输出时输出功率，模式竞争，和光束质量的模拟

要使用DMA编码，需要在腔内插入一个热透镜晶体。可以参照教程1的说明，准备一个端面泵浦的晶体。简便地，我们可以直接打开tutorial-1.lcd文件激活腔结构，该文件可以在LASCAD的子目录“tutorials”中找到。在我们设置好FEA编码和在模式腔内插入晶体后，在LASCAD主菜单中选择 “Dynamic Multimode Analysis”，打开DMA窗口。在该窗口中，点击Open GUI for DMA，打开“Dynamic Multimode Analysis”。该窗口有5个标签，如下：

2.1 高斯模式选项

点选该选项并选择“type of Gaussian modes”来近似激光模式结构。如果模式结构是象散的，选择Hermite-Gaussian模式。在旋转对称腔结构设计时，选择LG模式更好。但是，如果横模数量较多，则推荐采用Hermite-Gaussian模式，高阶LG在数值上更复杂。模式类型选择会自动地基于激光模式结构的象散选择。“Maximum transverse mode order”定义在x和y方向的最大传输模式阶数N_max。但是，随着N_max的增加，由于总模式数

因此M也会跟着变大，将耗费一定的计算时间。

如果N_max已经定义，我们需要设置“Number of grid points in x- and y- direction”足够大来解决高阶传输模式的传输强度振幅分布。否则，该数值和热FEA中使用的横向格点大小一样。热FEA大小仍然保留“Number of grid points in z-direction”。

“Stretch factor in x- and y-direction related to beam diameter”的定义严格依赖于N_max和在Help中描述的泵浦光分布情况。如果N_max=0，我们就需要将伸展因子设置为2来考虑基模和吸收泵浦光功率分布的叠加情况。

2.2 速率方程选项

虽然该标签的定义已经在LASCAD的“Laser Power Output”窗口定义过，但是还是有必要在该标签中再定义一次。与时间无关的激光功率输出结果相比，该窗口处的定义需要与别的输出一致。

2.3 CW运转选项

“Time resolution”的默认值10ns，与普通激光结构相符。但是，该条目和“Time period used for simulation”应该受计算结果控制。

2.4 光束质量

光束质量因子

和

是根据Siegman and Townsend用如下方程计算的

2.5 结果

DMA GUI中点击“Calculate”，弹出DMA Calculation窗口显示计算进程。在窗口显示的信息中，如“Power output for TEM00 mode using CW time independent recursion formula” 用于与相关计算的对比，在Laser Power Output窗口打开后开始计算。

在计算末，显示了最后四分之一模拟时间的单个模式平均功率输出。为了减少输出尖峰的影响，平均时间必须严格与模拟时间的四分之一相同，如图1。如果尖峰扩展到最后四分之一模拟时间，我们推荐增加“CW Operation”标签中的“Time period of simulation”。接下来，如果没有其他具体的参数指定，物理量按照上述方式进行平均。

如果按照教程1中的条件设置腔结构，并保持DMA GUI选项中的默认设置（除了将Nmax设置为3），我们可以得到表1中的结果。

Mode (0,3): 1.23341

Mode (0,2): 0.598921

Mode (0,1): 0.560508

Mode (1,2): 0.550806

Mode (3,0): 0.545464

Mode (1,3): 0.491664

Mode (0,0): 0.456887

Mode (3,1): 0.417439

Mode (1,1): 0.413295

Mode (1,0): 0.346157

Mode (3,3): 0.323292

Mode (2,2): 0.321322

Mode (2,1): 0.305183

Mode (2,0): 0.160791

Mode (3,2): 0.149285

Mode (2,3): 7.35643e-040

表1 单个模式功率输出教程1中腔结构

该结果显示教程1中象散对吸收泵浦功率密度的影响，在x-z平面呈高斯分布，在y-z平面是指数为10的超高斯分布。如表中所示，模式（m ,n）和模式（n, m）的功率大小不同，例如，Mode(0,3)功率为1.31W，Mode(3,0)的功率仅有0.57W。结果，x方向和y方向的光束质量

，

不同。总输出功率为6.87W。

在关闭DMA和LASCAD之后，我们也可以通过打开DMA相关目录下的output.txt文件查看数值结果。

点击DMA GUI的“Show Results”按钮，打开DMA观察器查看结果。在观察窗口下方的下拉框中可以选择重要的2D和3D图。

图1 输出功率随时间变化

图1显示，随时间变化的输出功率图。计算开始时假定反转粒子数密度

。因为这不同于热平衡条件，所以一开始会看到尖峰，随着时间的增加输出功率逐渐变小，最后会趋向于常数。基于腔结构，我们有必要增加“Time period used for simulation”来实现收敛。

单个模式随时间变化的输出功率也可以单独显示。

同时也可以显示随时间变化的输出功率二维图，沿腔轴TM00模式光斑图。 “Beam profile in the crystal” 三维图，基于单个模式对总输出功率的贡献，显示了它们之间的叠加。基于教程1的腔结构的例子，如图2。该图显示了教程1中吸收泵浦光功率密度的象散分布影响。可见，强度分布有很明显的象散，y方向的高阶横模比较突出。

图2 晶体中光束截面分布

3 Q开关运转模拟

在“Pumping”下拉框中可以选择两个不同模式的泵浦，CW泵浦和脉冲泵浦。脉冲泵浦可用于近似被动Q开关模型，见第3.3节。

3.1 CW泵浦

对于连续波长泵浦，由重复固定频率引发的预定义脉冲也可以计算。在速率方程中引入较高的人为腔损耗可以抑制装入时的激光震荡，可以在“Q-switch induced loss during load phase”框中定义。我们通常采用该参数的默认值0.8。因为在载入期没有受激辐射发生，此时产生粒子束反转。

如果打开周期大于0，人工调Q损耗不会立即减少，但是会在已定义的开放时间不断地降低到普通腔损耗。但是，该参数对脉冲能量和形状只有非常微小的影响。

因此，一个合适脉冲周期的定义很重要。该值不代表脉冲物理宽度，仅定义了脉冲计算的时域。在脉冲产生时，粒子束反转和光子密度会瞬间变化，很有必要在脉冲周期内定义一个数值较大的时步来获得较好的离散。因为腔结构会导致脉冲生成被延迟，可能需要我们设置脉冲周期比脉冲带宽大，来阻止脉冲展宽成弛豫周期。

加载时间“Load period”+打开时间“opening period”+脉冲时间“pulse period”必须小于脉冲重复周期“pulse repetition period”。在计算多个脉冲时，剩余时间就是松散周期，是脉冲周期和新的导入时间之间的缓冲区。在松散周期中的时步可以很小，因为粒子束反转和光子密度在此时几乎不变化。

3.2 CW泵浦结果

再一次结合教程1中的腔结构与DMA GUI标签中的默认设置，除了设置基模（N_max=0），计算结果显示了3个脉冲中的最后一个。

Power output averaged over pulse repetition period [W] = 2.92419 

Pulse energy [mJ] = 0.194946 

Pulse width (FWHM) [ns] = 5.15 

Average Beam Quality M² in x-direction = 1 

Average Beam Quality M² in y-direction = 1 

Peak power output 32216.1 [W] at time 0.000198894 [s]

输出脉冲的最大值提供了光学元件损耗的重要信息。

像“DMA Viewer Help”描述的，在放大“Power output over time”的二维图后，可见脉冲外形。图3显示了一个典型的脉冲形状的例子。

图3 CW泵浦典型脉冲外形

3.3 脉冲泵浦

除了“CW pumping”，“Pulsed synchronous with Q-switch”也可以选作“Mode of pumping”。该输入可用于创建被动Q开关的近似模型。在脉冲泵浦的情况下，假设泵浦的起始时间与导入时间同步。在连续波泵浦中，脉冲泵浦频率明显要比脉冲重复频率小很多，但是两种脉冲的时间间隔很大。因此，脉冲之间没有重叠发生，我们限制脉冲数为1。计算的时间周期以脉冲周期截止。

然而，脉冲重复频率必须由以下因素来定义。目前的LASCAD版本使用一个时间独立的代码进行热分析。在热分析时，如果采用脉冲泵浦，我们需要采用泵浦功率平均时间。如果泵浦频率大于60HZ，近似精度就足够了。在FEA窗口定义的值是用泵浦功率平均时间除以“Pulse repetition frequency”与“Load period”乘积，采用该计算可以得到脉冲泵浦的泵浦功率。因此，两个条目都必须在选项卡Q-switch中定义。低泵浦频率和单泵浦的与时间相关的热FEA还在研究中。

因为脉冲泵浦很容易实现很高的粒子束反转，相比于连续波泵浦，输出镜的反射率低一些。我们继续使用教程1中的腔面结构，Nmax=0，速率方程标签下的输出镜的反射率为0.5，调Q条目的设置也一样，得到如图4的结果：

Pulse 0: M²x = 1 M²y =1 

Power output averaged over pulse repetition period [W] = 71.8257 

Pulse energy [mJ] = 14.3687 

Pulse width (FWHM) [ns] = 0.495 

Average Beam Quality M² in x-direction = 1 

Average Beam Quality M² in y-direction = 1 

Peak power output 2.3572e+007 [W] at time 0.000200002 [s] 

Power averaged over whole simulation time [W]: 71.8257, 

with whole simulation time [s]: 0.00020005. 

Power output of individual modes averaged over computation period [W]: 

Mode (0,0): 71.8257 

Power output summed up over all considered modes = 71.8257

图4 脉冲调Q参数设置

图5 脉冲泵浦脉冲外形

采用图4的输出参数，得到图5所示的脉冲形状。

4 光阑影响模拟

“Apertures”标签下的条目可以设置高斯光阑和硬边光阑，另外，也可以是硬边、高斯或者超高斯的平面镜。

4.1 硬边光阑和平面镜

硬边光阑或者平面镜可以是椭圆的，矩形的。在“Type of Aperture”的下拉框中选择相关条目。

如果孔径的位置小于0，光阑代表了输出平面镜（即右端面镜），在x，y方向的光阑大小不等。

采用教程1中的腔面结构，N_max=3，半径大小为0.2mm的圆形端面镜，运行连续波计算。表2显示的结果与表1不同，因为输出平面镜的半径大小有限。只有模式(0,1)，（1,0）和（0,0）对输出功率起作用。相应地，与2.5节中没有使用光阑的结果相比，输出功率从6.9W减少到4W。但是，光束质量得到改善，

。

Mode (0,1): 1.83459

Mode (1,0): 1.42093

Mode (0,0): 0.721171

Mode (1,1): 5.85802e-042

Mode (2,0): 4.07249e-042

Mode (0,2): 2.36935e-042

Mode (2,1): 9.62273e-043

Mode (1,2): 7.98643e-043

Mode (3,0): 6.69612e-043

Mode (0,3): 4.63281e-043

Mode (2,2): 3.62786e-043

Mode (3,1): 3.49377e-043

Mode (1,3): 2.9093e-043

Mode (3,2): 2.12117e-043

Mode (2,3): 2.08619e-043

Mode (3,3): 1.53504e-043

表2 最后四分之一模拟时间的单个模式平均功率输出

采用教程1中的腔结构，另外，输出平面镜的半径大小为0.2m

4.2 超高斯输出平面镜

因为ABCD矩阵算法中没有考虑超高斯光阑，所以超高斯分布内部就采用指数SG的高斯近似，如图6所示，SG=4。该近似是合理的，因为只有半径小于

的模式才会对总的模式外形造成影响。获得的高斯拟合用在ABCD矩阵算法中。

图6 SG=4的超高斯反射率分布的高斯拟合

接着，我们继续采用教程1的腔结构，Nmax=3，其他与10.4.2.4，10.4.4.1节的设置相同。运行连续波计算，我们得到表3的结果。我们可以看到，由于超高斯输出镜，仅有00模式存在。相应地，光束截面分布显示了著名的高斯基模外形。令人惊奇的是，该模式的功率为4.22W。该大小与2.4节得到结果相比，明显高出了很多，4.2节中所有模式的总功率为6.87W。

与硬边光阑的结果相比，硬边光阑条件下的输出功率为4W，而超高斯光阑的输出功率为4.22W，然而，x，y方向的光束质量改善到1。

Mode (0,0): 4.22301

Mode (0,1): 3.01251e-041

Mode (1,0): 1.1211e-041

Mode (0,2): 8.25512e-042

Mode (1,1): 6.72075e-042

Mode (0,3): 4.86947e-042

Mode (1,2): 4.73229e-042

Mode (2,0): 4.64064e-042

Mode (2,1): 4.03505e-042

Mode (1,3): 3.73545e-042

Mode (2,2): 3.60176e-042

Mode (2,3): 3.24972e-042

Mode (3,0): 3.24888e-042

Mode (3,1): 3.21808e-042

Mode (3,2): 3.16512e-042

Mode (3,3): 3.05088e-042

表3 最后四分之一受激时间的单个模式的功率输出

基于超高斯输出平面镜，教程1的腔结构的计算

5．结论

上面章节的所有计算证实了DMA编码用于多模竞争的动态分析和Q开关都是一个非常好用的工具。该工具可以计算与时间相关一系列单个横模的相互作用，光束质量，激光输出功率，横模结构的强度分布，连续波和脉冲泵浦的脉冲外形，脉冲波峰强度等。因此它给激光工程师在优化激光腔结构时提供了重要的信息和帮助。