结构优化设计分析系列（四）：模态分析优化设计 原创

1.1 优化设计概述

所谓优化，是指最大化或最小化，而优化设计是指寻找一种方案以满足所有的设计要求，并且需要的支出最少。

优化设计有两种分析方法:解析法--通过求解微分与极值，求解出最小值;数值法--借助计算机和有限元，通过反复迭代逼近，求解出最小值。解析法需要列方程并求解微分方程，然而针对复杂的问题列方程和求解微分方程都是比较困难的，因此解析法常用于理论研究，很少应用于工程中。

随着计算机的发展，结构优化算法取得了较大的发展。根据设计变量的类型不同，结构优化已由较低层次的尺寸优化发展到较高层次的结构形状优化，进而发展到更高层次的拓扑优化。优化算法也由简单的准则法发展到数学规划法，进而发展到遗传算法等。

在保证产品达到某些性能目标并满足一定的约束条件的前提下，通过改变某些允许改变的设计变量，使产品的指标或性能达到最期望的目标，就是优化方法。

1.2    优化分析工具

ANSYS Workbench 结构优化分析工具有5种，即 Direct Optimization(直接优化工具)、Goal Driven Optimization(多目标驱动优化分析工具)、Parameters Correlation(参数相关性优化分析工具)、Response Surface(响应曲面优化分析工具)及Six Sigma Analysis(六西格玛优化分析工具)。

(1)Direct Optimization(直接优化工具):设置优化目标，利用默认参数进行优化分析，从中得到期望的组合方案。

(2)Goal Driven Optimization(多目标驱动优化分析工具):从给定的一组样本中得到最佳的设计点。

(3)Parameters Correlation(参数相关性优化分析工具):可以得出某一输入参数对响应曲面的影响的大小。

(4)Response Surface(响应曲面优化分析工具):通过图表来动态地显示输入与输出参数之间的关系。

(5)Six Sigma Analysis(六西格玛优化分析工具):基于6个标准误差理论来评估产品的可靠性概率，以判断产品是否满足六西格玛准则。

1.3    分析问题描述

一个边长为250毫米、厚度为5毫米的正方形板在其所有顶点上受到简支（如下图所示）。

输入参数：—杨氏模量、泊松比和密度

响应参数：— 第一阶固有频率

参数	类型	限制	期望值	重要性
杨氏模量（E）	输入	1.8e11 Pa≤E≤2.2e11Pa	无	低
泊松比（ν）	输入	0.27≤ν≤0.30	无	低
密度（ρ）	输入	7065 kg/m3 ≤ρ≤8635 kg/m3	无	低
第一阶固有频率（w）	输出	n/a	最小	高

1.4 理论分析

根据上述条件，第一阶固有频率为：

目标函数为：

得到的尺寸最小值为：

Young's Modulus E = 1.8e11 Pa

Poisson's Ratio μ = 0.27

Density ρ = 8635 kg/m3

代入得到响应参数最小值为：

First Natural Frequency w = 124.0913 rad/s

1.5 ANSYS分析

在ansys workbench中新建优化设计分析如下图示：

在Engineering Data中将材料属性Density 密度、Young's Modulus杨氏模量和Poisson's Ratio泊松比参数化：

在Mechanical的Modal模态分析模块中将第一阶固有频率参数化：

返回Ansys Workbench界面，双击打开Design of Experiments，设置输入参数的限制范围：P1- Young's Modulus为1.8E+11~2.2E+11，P2- Poisson's Ratio为0.27~0.33，P3- Density为7065~8635；随后点击左上角的Preview，查看优化设计点，没问题便可点击Update更新各设计点数据。

完成Update后，返回Ansys Workbench界面，在Project处双击Response Surface进入响应点界面查看结果。点击response，默认查看输入参数与输出参数的2D结果，在Axes处可分别设置不同的输入参数及输出参数，查看各个参数之间的关系；也可以在Mode那设置成查看3D结果。同理，也可以查看局部敏感性柱状图，局部敏感性曲线以及蜘蛛网图。

返回Ansys Workbench界面，在Project处双击Optimization进入优化界面设置优化参数，目标参数P4设置为最小值，限制类型为无限制。

然后点击Update，完成后在Candidate Points即可查看目标函数的三个最优候选点。该分析中，最优值为P1=1.8E+11、P2=0.27、P3=8635时，其第一阶固有频率最小，为P4=123.34。

1.6 结果对比

	理论值	仿真值	误差(%)
Young's Modulus E	1.8e11 Pa	1.8e11 Pa	0.00
Poisson's Ratio μ	0.27	0.27	0.00
Density ρ	8635 kg/m3	8635 kg/m3	0.00
First Natural Frequency w	124.0913 rad/s	123.3402 rad/s	-0.6053