基于 MATLAB/EIDORS 的 ECT/EIT 外环结构建模与图像重建复现 原创

摘要

电学层析成像是一类利用边界电学测量信息反演介质内部空间分布的非侵入式成像技术。其中，电阻抗层析成像（Electrical Impedance Tomography，EIT）主要表征电导率或阻抗分布变化，电容层析成像（Electrical Capacitance Tomography，ECT）则主要用于重建介电常数分布。由于两类方法均通过有限数量的边界测量反演内部场分布，其逆问题具有明显的非线性、欠定性和病态性，因此有限元建模、灵敏度计算及正则化重建是实现电学层析成像的重要基础。

本文参考 Przysucha 等关于 EIT 与 ECT 三维层析成像比较的研究，结合外环结构检测场景，建立二维环形有限元模型，并分别完成 EIT 和 ECT 的背景场、目标扰动场、差分测量以及图像重建。针对 EIT，获得背景电压 (V_0)、目标状态电压 (V_1) 及差分电压 (V)；针对 ECT，获得背景电容 (C_0)、目标状态电容 (C_1) 及差分电容 (C)。进一步采用 LBP、Tikhonov、Laplace 和 NOSER 等传统方法进行反演。仿真结果表明，所建立的模型能够在二维外环区域内识别局部电导率或介电常数扰动，为后续参数优化、三维建模以及实验数据接入提供了基础。

关键词： 电阻抗层析成像；电容层析成像；有限元方法；EIDORS；图像重建；外环检测

1. 研究背景

电学层析成像通过在被测区域边界布置多个电极，对内部介质产生的电学响应进行测量，并根据边界信号反演空间电学参数分布。与依赖射线或机械扫描的传统成像方式相比，电学层析方法的主要特点是传感器集中布置于检测区域边界，可在不直接进入被测区域的情况下获取内部介质变化信息。

根据被测电学参数不同，电学层析成像可进一步分为 EIT 和 ECT。EIT 通常通过边界电极注入交流电流并测量电压响应，由此估计内部电导率或阻抗变化；EIDORS 是目前应用较广的开源 EIT 前向与逆问题研究平台，可用于有限元建模、灵敏度计算及图像重建。 ECT 则通过多电极之间的电容变化反映内部介电常数分布，已广泛用于工业过程层析和多相介质检测。ECT 与电阻/阻抗层析均存在典型的软场特性，其测量结果受到整个电场分布共同影响，因此重建问题通常需要结合正则化或先验约束求解。

本文主要参考 Przysucha 等发表于 Energies 的研究 Analysis of Reconstruction Energy Efficiency in EIT and ECT 3D Tomography Based on Elastic Net。该研究在统一圆柱结构中比较 EIT 与 ECT 的三维成像性能，为两类电学层析方法的统一建模和比较提供了较好的参考框架。

需要说明的是，本文并非对原文三维 Elastic Net 重建算法进行完整复刻，而是首先复现其中与工程实现密切相关的基础流程，包括边界电极建模、有限元离散、前向测量生成、差分数据构造以及传统正则化重建。原始复现工作的定位同样以这一技术路线为主。

图 1 文献报道的 EIT 与 ECT 实验系统。图片整理自 Przysucha 等，Energies 2023，CC BY 4.0。

图 2 文献中的 EIT/ECT 仿真、重建与评价流程。图片整理自 Przysucha 等，Energies 2023，CC BY 4.0。

2. 外环结构电学层析建模方法

2.1 EIT 与 ECT 测量原理

EIT 和 ECT 在数学形式上具有相似的“边界测量—内部参数反演”结构，但其物理测量量不同。

对于 EIT，在背景介质条件下首先获得边界电压向量 (V_0)，当目标区域电导率发生变化后得到 (V_1)，差分测量可以表示为

[V=V_1-V_0 .]

ECT 则以不同电极组合之间的电容为测量量，背景状态和目标状态分别记为 (C_0) 和 (C_1)，相应差分电容为

[C=C_1-C_0 .]

因此，EIT 的未知量主要对应电导率变化，而 ECT 的未知量主要对应介电常数变化。原复现程序也分别输出 (V_0)、(V_1)、(V) 和 (C_0)、(C_1)、(C)。

2.2 二维外环有限元模型

为研究外环区域内目标变化对边界电学信号的影响，本文建立二维环形有限元模型。模型由内边界、外边界以及位于环形区域内的介质组成，并在内边界均匀布置多个测量电极。

采用三角形单元对计算区域进行有限元离散。背景状态设为均匀介质，在指定区域内设置电导率或介电常数不同于背景值的扰动目标。目标可以设置为局部圆形区域，也可以设置为沿圆周方向延伸的弧形目标。

对于弧形目标，可通过改变圆周覆盖比例实现不同目标尺度，例如设置为圆周的 25%、50%、约 67% 或完整圆周，也可以直接指定目标的起始角和终止角，从而模拟不同范围的外环介质变化。原始程序中已经实现了这一参数化控制。

这种参数化几何模型使目标位置、覆盖范围及材料参数可以独立调整，为后续灵敏度分析和批量参数扫描提供了统一的仿真基础。

2.3 前向计算与图像重建

完成有限元模型建立后，首先分别求解背景状态和目标状态下的前向问题，并获得相应边界测量数据。随后根据两种状态之间的差异构建差分测量向量。

在小扰动条件下，边界测量变化与内部参数变化之间可以近似表示为

[y Jx ,]

其中，(y) 表示 (V) 或 (C)，(J) 为对应的灵敏度矩阵，(x) 表示待重建的电导率或介电常数变化。

由于 (J) 对应的逆问题通常是病态问题，直接求逆容易放大测量噪声。因此采用正则化方法求取稳定解。例如 Tikhonov 重建可以表示为

_x(|Jx-y|_2^2+|Lx|_2^2),]

其中，() 为正则化参数，(L) 为正则化矩阵。

在此基础上，程序实现了 LBP、Tikhonov、Laplace 和 NOSER 等多种传统重建策略。LBP 计算简单，可快速观察目标大致位置；Tikhonov 重建具有较好的数值稳定性；Laplace 正则化进一步引入空间平滑约束；NOSER 则依据灵敏度分布对不同区域进行加权。原始复现流程已经完成由 FEM 建模、前向计算、差分测量到灵敏度矩阵和正则化反演的完整连接。

3. 仿真复现结果

3.1 ECT 外环介电目标重建

首先针对 ECT 建立环形有限元模型，并在外环区域设置具有一定圆周覆盖范围的弧形介电目标。分别计算背景状态和加入目标后的电容测量数据，并获得差分电容 (C)。

仿真结果显示，目标区域的介电常数变化能够引起电极间电容测量变化。将 (C) 输入重建算法后，重建图像在实际目标所在的外环区域产生明显响应，高响应区域与设定目标在空间位置上具有较好的一致性。

由于 ECT 属于典型软场成像方法，重建结果并不会形成与真实目标完全一致的锐利边界，而通常表现为具有一定空间扩散范围的响应区域。这与 ECT 反问题的有限空间分辨率和灵敏度非均匀性相符。

图 3 ECT 外环结构有限元模型、目标介电常数分布及基于差分电容的重建结果。

3.2 EIT 外环电导率目标重建

在相同外环几何框架下进一步建立 EIT 模型。背景介质设置为均匀电导率，并在外环区域加入局部电导率扰动目标。通过求解前向问题分别获得背景电压 (V_0) 和目标状态电压 (V_1)，进而计算差分电压 (V)。

采用 Tikhonov 或 Laplace 等正则化算法对 (V) 进行反演后，重建结果在目标所在区域形成较集中的电导率变化响应，目标的主要空间位置能够得到恢复。

不同正则化策略对图像空间扩散程度存在一定影响：较强的平滑约束通常能够提高重建稳定性，但也可能降低目标边缘的锐利程度。因此，正则化参数及空间先验的选择是影响后续定位精度的重要因素。

图 4 EIT 外环电导率目标分布及 Tikhonov/Laplace 差分重建结果。

综合 ECT 与 EIT 的仿真结果可以看出，在当前二维环形模型下，两种测量机制均能够对外环区域的局部电学参数变化产生可检测响应，并通过传统正则化方法实现扰动区域的空间定位。该结果主要完成了建模与算法流程的可行性验证，当前尚未涉及系统性的定量空间分辨率、定位误差或实验硬件数据评价，因此不宜将本阶段结果表述为最终成像性能结论。

4. 软件实现

本研究以 MATLAB 作为主要仿真与算法开发环境。

其中，EIT 部分主要基于 EIDORS 完成有限元模型构建、前向问题求解以及逆问题重建。EIDORS 是面向 Electrical Impedance Tomography 和 Diffuse Optical Tomography 的开源软件平台，提供有限元模型、刺激模式、前向求解器、Jacobian 计算及多种逆问题求解方法，具有较好的模型扩展能力。

需要区分的是，EIDORS 本身主要面向 EIT，而本文的 ECT 部分是在 MATLAB 环境中参照相同的有限元离散、灵敏度矩阵和正则化反演思想实现电容前向与逆问题计算，并非直接调用 EIDORS 原生 ECT 模块。

当前形成的主要 MATLAB 程序包括：

eit2d_eidors_forward_recon.m 用于二维 EIT 前向计算及基本图像重建；

eit2d_outward_annulus_forward_recon.m 用于外环结构 EIT 有限元建模与差分重建；

ect2d_outward_annulus_forward_recon.m 用于二维外环 ECT 前向计算及重建；

ect2d_outward_annulus_coil_forward_recon.m 用于弧形/线圈状 ECT 目标的参数化建模与重建。

上述脚本名称及 EIDORS v3.11-ng 软件环境均记录于原复现文档。

5. 结论

本文围绕二维外环结构建立了 ECT 与 EIT 电学层析成像仿真模型，完成了从有限元网格构建、背景与目标参数设置、前向场计算、差分测量生成到传统正则化图像重建的完整技术流程。

在 ECT 模型中，通过改变介电常数获得 (C_0)、(C_1) 及 (C)，并实现弧形目标覆盖范围和位置的参数化调整；在 EIT 模型中，通过设置局部电导率扰动获得 (V_0)、(V_1) 及 (V)。基于灵敏度矩阵和 LBP、Tikhonov、Laplace、NOSER 等重建方法，两种成像模式均能够在外环区域形成与目标位置相对应的主要重建响应。

现阶段工作重点在于验证外环几何条件下前向建模和逆问题求解流程的可实现性，而非对原文三维 Elastic Net 方法进行完整复现。后续可在现有模型基础上进一步开展电极数量、目标覆盖角、目标厚度、电学参数对比度、正则化参数及噪声水平等因素的系统分析，并逐步扩展至三维模型和实际采集数据，从而形成从数值仿真到实验验证的完整电学层析成像研究体系。

参考文献

[1] Przysucha B, Wójcik D, Rymarczyk T, et al. Analysis of Reconstruction Energy Efficiency in EIT and ECT 3D Tomography Based on Elastic Net. Energies, 2023, 16: 1490. DOI: 10.3390/en16031490.

[2] Adler A, Lionheart W R B. Uses and abuses of EIDORS: an extensible software base for EIT. Physiological Measurement, 2006, 27(5): S25–S42. DOI: 10.1088/0967-3334/27/5/S03.

[3] Cui Z, Wang Q, Xue Q, et al. A review on image reconstruction algorithms for electrical capacitance/resistance tomography. Sensor Review, 2016, 36(4): 429–445. DOI: 10.1108/SR-01-2016-0027.

[4] EIDORS: Electrical Impedance Tomography and Diffuse Optical Tomography Reconstruction Software. EIDORS Documentation.