圣杯问题VI:广义调和映照(下)

3.三维流形的双曲结构

曲面单值化定理(surface uniformization)断言,共形结构所容许的黎曼度量中存在一个常值曲率度量。如果曲面的欧拉示性数为正,零或负,则对应的度量为球面、欧式和双曲度量。这意味着带有共形结构的曲面可以配备三种标准几何。瑟斯顿(William Thurston)将这一定理推广至三维流形,断言三维流形具有8种标准几何。判定给定三维流形的标准几何成为低维拓扑的中心问题。

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图7. 带边界的双曲三维流形。

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广义调和映照

几何结构的形变、复射影结构的构造、低维拓扑问题的判定都具有根本的重要性,但是目前这些理论只停留在纯粹数学领域,依然未对人们的日常生活产生任何影响。其中关键的困难在于缺乏精确有效的手段来计算全纯二次微分(亦即曲面的叶状结构)。


长期以来,我们一直力图寻找切实可行的计算方法,尝试了五六种不同的理论,例如Strebel的变分理论,离散Square Tiling理论等。最早的突破来自于全纯一形式(holomorphic 1-form)的乘积方法。我们首先用Hodge理论计算曲面上全纯一形式的基底,然后计算基底间的乘积得到全纯二次微分。但是,这种方法无法保证所得的叶状结构是有限的(即每根纤维可能不是有限的封闭曲线,而是无穷长的螺旋线)。


后来,我们采用了Schoen-Gromov的广义调和映照理论。Richard Schoen是丘成桐先生的弟子,他将丘先生的调和映照理论从光滑流形推广到一般的度量空间。我们以前简介过调和映照的基础理论(请查看漫谈调和映照 I,IIIII)。


全纯二次微分和叶状结构的理论历史发展如下:Hubbard-Masur (【7】1979)证明了全纯二次微分和叶状结构的等价性;Jenkin(【3】1957)和Strebel (【4】1984)证明了满足特定组合、几何条件的全纯二次微分的存在性;Wolf(【5】1996)证明了全纯二次微分可以由广义调和映照得到;Schone-Gromove (【6】1992)证明了广义调和映照的存在性和唯一性。


我们的算法步骤大致如下:

第一步:如图8所示,程序自动、或者用户指定3g-3条彼此分离的简单闭曲线,我们称之为可容许曲线系统。这些曲线将曲面分解成2g-2条“裤子”,每条裤子是一个亏格为0的曲面,带有三条边界。

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图8. 可容许曲线系统(Admissible Curve System)【2】。

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第四步:如图11所示,我们将曲面沿着奇异纤维切开,得到3g-3个圆柱面。圆柱面上的纤维可以看成是调和1-形式,我们计算其共轭的调和1-形式,构造全纯1-形式。全纯1-形式的平方给出了全局定义的全纯二次微分,如图12所示。

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图11. Cylindric Decomposition。【2】

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图12. 全纯二次微分。(holomorphic quadratic differential)【2】

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图13. 结构化六面体网格。【2】


最后,我们由曲面的叶状结构得到表面四边形网格化,再将表面的四边形网格化向内部拓展,生成结构化六面体网格,如图13所示。这里需要用到实体参数化的技术。但是,虽然在图形学领域有一些体参数化的工作,迄今为止,并没有理论上严格保证所得映射为同胚的方法。现存的方法都依赖于一些不现实的前提条件。我们将会在下一讲给出理论严密的算法。


感喟

通过这次历史回顾,我们看到全纯二次微分理论发展的艰辛和漫长,同时体会到这一自然结构在低维拓扑、Teichmuller空间理论和复射影结构理论中的关键作用。我们刚刚找到切实可行的计算全纯二次微分的方法,这使得计算共形结构的形变、Pseduo-Anosov映射的不变foliation、构造复射影结构成为可能。这些问题非常基本,而又具有挑战性。虽然对于工程应用而言过于超前,但是它们是自然界的一部分,因而具有恒久价值。我们相信,这些深刻而优美的理论结果,迟早会应用于现实生活;我们期待更多的年轻学子,能够超脱生活的苟且,为解决这些基本问题而投奔远方。


历史上,具有革命性的技术就像强有力的引擎一样,声势浩荡地推动社会经济的发展;但是这些规模宏大的引擎都是被小小的火花塞所启动,那些微弱而又顽强的火花是人类永恒的好奇心 ......




References

                                                              

1. N. Lei, X. Zheng, J. Jiang, Y.-Y. Lin and X. Gu, Quadrilateral and Hexahedral mesh generation based on surface foliation theory I, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. In press, 2017 (316), 758-781.

2. N. Lei, X. Zheng, Z. Luo and X. Gu, Quadrilateral and Hexahedral mesh generation based on surface foliation theory II, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. In press, 2017.

3. J. A. Jenkins, On the existence of certain general extremal metrics, Ann.
595 of Math. 60 (1957) 440–453.

4. K. Strebel, Quadratic Differentials, Springer-Verlag, 1984.

5. M. Wolf, On realizing measured foliations via quadratic differentials of
harmonic maps to r-trees, J. D’Analyse Math (1996) 107–120.

6. M. Gromov, R. Schoen, Harmonic maps into singular spaces and p-adic
superrigidity for lattices in groups of rank one, Publ. Math. IHES 76 (1992) 165–246.

7. J.Hubbard,H.Masur,Quadrtic Differentials and foliations, Acta Math. (142) (1979) 221-274.



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